ماذا تفعل هذه الحاسبة؟
تحلّل هذه الأداة القطع المكافئ المكتوب بالصيغة القياسية \(y = ax^2 + bx + c\)، وتُرجع لك أهم خصائصه الهندسية: الرأس (نقطة الانعطاف)، والبؤرة، والدليل. هذه العناصر الثلاثة تصف بالكامل شكل القطع المكافئ الرأسي وموضعه، وهو أمر مفيد في الجبر، ودراسة القطوع المخروطية، والبصريات، ومسائل حركة المقذوفات.
كيفية استخدامها
أدخل المعاملات الثلاثة a وb وc تمامًا كما تظهر في معادلتك. يجب ألّا يساوي المعامل a صفرًا (وإلا تحوّل المنحنى إلى خط مستقيم). تعرض الحاسبة على الفور إحداثيات الرأس، ونقطة البؤرة، ومعادلة خط الدليل.
شرح المعادلة
الإحداثي السيني للرأس هو \(h = -\frac{b}{2a}\). وبالتعويض نحصل على الإحداثي الصادي \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). أما البُعد البؤري فهو \(p = \frac{1}{4a}\).
$$\left(-\frac{b}{2a},\; c-\frac{b^2}{4a}\right)$$
$$p=\frac{1}{4a},\quad F=(h,\,k+p),\quad y=k-p$$
عندما تكون \(a > 0\) يفتح القطع المكافئ إلى الأعلى وتقع البؤرة فوق الرأس عند \((h, k + p)\)، ويكون الدليل خطًا أفقيًا معادلته \(y = k - p\). وعندما تكون \(a < 0\) يفتح إلى الأسفل وتنقلب الإشارات تلقائيًا لأن \(p\) يصبح سالبًا.
مثال محلول
لنأخذ المعادلة \(y = x^2 - 4x + 3\)، حيث \(a = 1\) وb = −4 وc = 3. عندئذٍ يكون \(h = \frac{4}{2} = 2\) و\(k = 3 - \frac{16}{4} = -1\)، فيكون الرأس عند \((2, -1)\). وبما أن \(p = \frac{1}{4} = 0.25\)، تكون البؤرة عند \((2, -0.75)\) ويكون الدليل \(y = -1.25\).
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كانت a سالبة؟ يفتح القطع المكافئ إلى الأسفل؛ فتقع البؤرة أسفل الرأس ويقع الدليل أعلاه. وتتعامل المعادلات مع هذه الحالة تلقائيًا.
لماذا يجب أن تكون \(a \neq 0\)؟ إذا كانت \(a = 0\) فلا وجود لحدّ \(x^2\)، ومن ثَمّ يصبح الرسم البياني خطًا مستقيمًا لا رأس له ولا بؤرة.
هل تصلح هذه الحاسبة للقطوع المكافئة الأفقية؟ لا — فهذه الحاسبة تفترض قطعًا مكافئًا رأسيًا بالصيغة \(y = ax^2 + bx + c\).
