À quoi sert ce calculateur
Cet outil analyse une parabole écrite sous sa forme standard, \(y = ax^2 + bx + c\), et en restitue les caractéristiques géométriques essentielles : le sommet (point extrême), le foyer et la directrice. Ces trois éléments décrivent entièrement la forme et la position d'une parabole verticale, ce qui s'avère précieux en algèbre, dans l'étude des coniques, en optique et dans les problèmes de trajectoire.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois coefficients a, b et c tels qu'ils apparaissent dans votre équation. Le coefficient a ne doit pas être nul (sinon la courbe se réduit à une droite). Le calculateur affiche instantanément les coordonnées du sommet, la position du foyer et l'équation de la directrice.
La formule expliquée
L'abscisse du sommet vaut \(h = -\frac{b}{2a}\). En réinjectant cette valeur, on obtient l'ordonnée \(k = c - \frac{b^2}{4a}\). La distance focale est \(p = \frac{1}{4a}\). Le sommet, le foyer et la directrice s'expriment alors par :
$$\left(-\frac{b}{2a},\; c-\frac{b^2}{4a}\right)$$$$p=\frac{1}{4a},\quad F=(h,\,k+p),\quad y=k-p$$Lorsque \(a > 0\), la parabole s'ouvre vers le haut et le foyer se situe au-dessus du sommet, en \((h, k + p)\), tandis que la directrice est la droite horizontale \(y = k - p\). Lorsque \(a < 0\), elle s'ouvre vers le bas et les signes s'inversent naturellement, car \(p\) devient négatif.
Exemple détaillé
Prenons \(y = x^2 - 4x + 3\), soit \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = 3\). On obtient alors \(h = \frac{4}{2} = 2\) et \(k = 3 - \frac{16}{4} = -1\), ce qui donne le sommet \((2, -1)\). Avec \(p = \frac{1}{4} = 0{,}25\), le foyer se trouve en \((2, -0{,}75)\) et la directrice a pour équation \(y = -1{,}25\).
FAQ
Que se passe-t-il si a est négatif ? La parabole s'ouvre vers le bas : le foyer se trouve sous le sommet et la directrice au-dessus. Les formules gèrent automatiquement ce cas.
Pourquoi faut-il que a ≠ 0 ? Si \(a = 0\), il n'y a plus de terme en \(x^2\) : le graphique devient une droite, sans sommet ni foyer.
Cela fonctionne-t-il pour les paraboles horizontales ? Non — ce calculateur suppose une parabole verticale de la forme \(y = ax^2 + bx + c\).
