Ce que fait ce calculateur
Cet outil met en facteur le plus grand commun diviseur (PGCD) d'un polynôme. À partir d'une liste de termes comme 12x^3, -18x^2, 6x, il détermine le plus grand nombre et la plus grande combinaison de variables qui divisent chaque terme, puis réécrit le polynôme sous la forme de ce PGCD multiplié par un polynôme plus simple entre parenthèses. C'est la première étape de la plupart des exercices de factorisation, et la méthode fonctionne quel que soit le nombre de termes.
Comment l'utiliser
Saisissez chaque terme de votre polynôme sur une ligne distincte (ou séparez-les par des virgules). Utilisez l'accent circonflexe pour les exposants, par exemple x^2 pour x au carré, et n'oubliez pas d'indiquer le signe de chaque terme. Cliquez sur Calculer pour afficher le PGCD, les termes divisés entre parenthèses et l'expression entièrement factorisée.
La formule expliquée
Le PGCD se compose de deux parties. D'abord, on calcule le plus grand commun diviseur des coefficients numériques à l'aide de l'algorithme d'Euclide. Ensuite, pour chaque variable présente dans tous les termes, on retient le plus petit exposant qu'elle porte. Le produit de ces éléments constitue le PGCD. En divisant chaque terme initial par le PGCD, on obtient le polynôme qui figure entre parenthèses.
$$\text{Polynôme} = \text{PGCD} \times \left( \frac{\text{Terme}_1}{\text{PGCD}} + \frac{\text{Terme}_2}{\text{PGCD}} + \cdots \right)$$$$\begin{gathered} \text{PGCD} = \gcd(\text{coefficients}) \cdot \prod v^{\min(e_v)} \\[1.5em] \text{Terme}_i = \text{chaque entrée des termes du polynôme} \end{gathered}$$
Exemple détaillé
Factorisons 12x^3 - 18x^2 + 6x. Les coefficients sont 12, 18 et 6 ; leur PGCD vaut 6. Chaque terme contient x, et la plus petite puissance est \(x^1\), donc la partie variable est \(x\). Le PGCD global est donc \(6x\). En divisant chaque terme par \(6x\), on obtient \(2x^2 - 3x + 1\). Le résultat est $$6x(2x^2 - 3x + 1)$$.
Questions fréquentes
Et s'il n'y a aucun facteur commun ? Le PGCD est égal à 1 et, pour cette étape, le polynôme est déjà sous sa forme factorisée la plus simple.
Gère-t-il les premiers termes négatifs ? Oui. Le PGCD est toujours pris comme un nombre positif, et les signes sont conservés dans les termes divisés.
La factorisation est-elle complète ? L'outil ne fait que mettre le PGCD en facteur. Il reste souvent possible de factoriser davantage le polynôme restant (par exemple sous forme de trinôme ou de différence de carrés).
