बहुपद से GCF बाहर निकालने का कैलकुलेटर

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बहुपद के पद (हर पंक्ति में एक, जैसे 12x^3, -18x^2, 6x) 12x^3 -18x^2 6x

परिणाम

गुणनखंडित रूप

6x(2x^2 - 3x + 1)

बाहर निकाला गया GCF

महत्तम समापवर्तक (GCF)	6x
गुणांकों का GCF	6
पदों की संख्या	3

यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल किसी बहुपद (polynomial) में से महत्तम समापवर्तक (GCF) बाहर निकालता है। जब आप पदों की सूची देते हैं, जैसे 12x^3, -18x^2, 6x, तो यह वह सबसे बड़ी संख्या और चरों का वह सबसे बड़ा संयोजन ढूँढता है जो हर पद को पूरी तरह विभाजित कर सके। इसके बाद यह बहुपद को उसी GCF और कोष्ठक में एक सरल बहुपद के गुणनफल के रूप में फिर से लिख देता है। अधिकांश गुणनखंडन (factoring) समस्याओं में यही पहला कदम होता है, और यह किसी भी संख्या में पदों के लिए काम करता है।

इसका उपयोग कैसे करें

अपने बहुपद के हर पद को अलग-अलग पंक्ति में लिखें (या उन्हें कॉमा से अलग करें)। घातांक के लिए कैरेट चिह्न का प्रयोग करें, जैसे x का वर्ग दिखाने के लिए x^2, और हर पद का चिह्न (+/–) ज़रूर लगाएं। फिर "calculate" दबाएँ — आपको GCF, कोष्ठक के अंदर विभाजित पद, और पूरी तरह गुणनखंडित व्यंजक दिख जाएगा।

सूत्र की व्याख्या

GCF के दो हिस्से होते हैं। पहला, संख्यात्मक गुणांकों (coefficients) का महत्तम समापवर्तक यूक्लिड एल्गोरिथम (Euclidean algorithm) से निकालें। दूसरा, जो चर हर पद में मौजूद है, उसकी सबसे छोटी घात लें। इन दोनों का गुणनफल ही GCF है। हर मूल पद को इस GCF से भाग देने पर वह बहुपद मिलता है जो कोष्ठक के अंदर आता है।

$$\text{Polynomial} = \text{GCF} \times \left( \frac{\text{Term}_1}{\text{GCF}} + \frac{\text{Term}_2}{\text{GCF}} + \cdots \right)$$$$\begin{gathered} \text{Polynomial} = \text{GCF} \times \left( \dfrac{\text{Term}_1}{\text{GCF}} + \dfrac{\text{Term}_2}{\text{GCF}} + \cdots \right) \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} \text{GCF} &= \gcd(\text{coefficients}) \cdot \prod v^{\min(e_v)} \\ \text{Term}_i &= \text{each entry in } \text{Polynomial terms} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$

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GCF को बाहर निकालने पर पदों के योग को GCF गुणा कोष्ठक में लिखे एक छोटे बहुपद के रूप में फिर से लिखा जाता है।

हल किया हुआ उदाहरण

12x^3 - 18x^2 + 6x का गुणनखंडन कीजिए। गुणांक 12, 18 और 6 हैं; इनका GCF है 6। हर पद में x मौजूद है, और सबसे छोटी घात \(x^1\) है, इसलिए चर वाला हिस्सा x है। कुल GCF हुआ \(6x\)। हर पद को \(6x\) से भाग देने पर मिलता है \(2x^2 - 3x + 1\)। उत्तर है \(6x(2x^2 - 3x + 1)\)।

GCF गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य संख्यात्मक गुणनखंड और सबसे कम साझा चर घात को जोड़ता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

अगर कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड न हो तो? तब GCF 1 होता है, और इस चरण के लिए बहुपद पहले से ही अपने सबसे सरल गुणनखंडित रूप में होता है।

क्या यह ऋणात्मक अग्रणी पद को संभाल सकता है? हाँ। GCF हमेशा धनात्मक संख्या के रूप में लिया जाता है, और विभाजित पदों में चिह्न जस के तस बने रहते हैं।

क्या यह पूरी तरह गुणनखंडन करता है? यह केवल GCF बाहर निकालता है। बचे हुए बहुपद को आप शायद और आगे गुणनखंडित कर सकें (जैसे त्रिपद या वर्गों के अंतर के रूप में)।