Qu'est-ce que l'angle entre deux droites ?
Lorsque deux droites se coupent, elles forment deux paires d'angles : un angle aigu et son angle obtus supplémentaire. Ce calculateur détermine cet angle d'intersection directement à partir des pentes des deux droites, \(m_1\) et \(m_2\), sans avoir besoin de les tracer. C'est un outil incontournable en géométrie analytique, en trigonométrie, en topographie comme en infographie.
Comment utiliser le calculateur
Saisissez la pente de la première droite (\(m_1\)) puis celle de la seconde droite (\(m_2\)). La pente correspond au rapport entre la variation verticale et la variation horizontale (le « dénivelé sur l'avancement ») : dans l'équation \(y = mx + b\), c'est le coefficient \(m\). Cliquez sur « Calculer » : vous obtiendrez l'angle aigu en degrés, ainsi que l'angle obtus supplémentaire.
La formule expliquée
L'angle θ entre deux droites se calcule avec :
$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right) \times \frac{180}{\pi}$$La valeur absolue garantit une tangente positive ou nulle, ce qui donne l'angle aigu. Le résultat de la fonction arctan est exprimé en radians : on le multiplie donc par \(\frac{180}{\pi}\) pour le convertir en degrés. Un cas particulier se présente quand \(1 + m_1 m_2 = 0\) : le dénominateur s'annule, les droites sont perpendiculaires et l'angle vaut exactement \(90^\circ\). Le calculateur gère automatiquement cette situation.
Exemple résolu
Supposons que la droite 1 ait une pente \(m_1 = 1\) et que la droite 2 ait une pente \(m_2 = 0\) (une droite horizontale). On obtient alors :
$$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$D'où \(\theta = \arctan(1) = 45^\circ\). L'angle obtus est égal à \(180 - 45 = 135^\circ\).
Termes et variables clés
- Pente (m)
- L'inclinaison d'une droite, définie comme le rapport du changement vertical au changement horizontal, \(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\). Une plus grande magnitude signifie une droite plus raide ; une pente positive monte de gauche à droite tandis qu'une pente négative descend.
- Angle d'inclinaison
- L'angle qu'une seule droite fait avec l'axe x positif, mesuré dans le sens antihoraire. Il est lié à la pente par \(m = \tan(\alpha)\). L'angle entre deux droites est la différence de leurs angles d'inclinaison.
- Angle aigu
- Un angle inférieur à \(90^\circ\). La valeur absolue dans la formule de tangente produit toujours l'angle aigu entre deux droites qui se croisent.
- Angle obtus (supplémentaire)
- Un angle entre \(90^\circ\) et \(180^\circ\). Deux droites qui se croisent forment à la fois un angle aigu \(\theta\) et son supplément \(180^\circ - \theta\) ; ensemble, ils représentent les quatre angles au point de croisement.
- Arctangente (tangente inverse, tan⁻¹)
- La fonction qui retourne l'angle dont la tangente égale une valeur donnée, \(\theta = \tan^{-1}(x)\). Son plage principale est de \(-90^\circ\) à \(90^\circ\), donc appliquée à une entrée non négative, elle produit un angle aigu.
- Droites perpendiculaires
- Deux droites se rencontrant à \(90^\circ\). Pour les droites non-verticales, cela se produit lorsque \(m_1 m_2 = -1\), ce qui rend le dénominateur \(1 + m_1 m_2 = 0\) et la tangente indéfinie.
- Droites parallèles
- Deux droites qui ne s'intersectent jamais et ont des pentes égales, \(m_1 = m_2\). La formule donne alors un numérateur de 0, donc \(\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ\).
Questions fréquentes
Et si les droites sont parallèles ? Des droites parallèles ont des pentes égales (\(m_1 = m_2\)), ce qui donne \(\theta = 0^\circ\).
Comment saisir une droite verticale ? Une droite verticale a une pente indéfinie : elle ne peut donc pas être saisie directement. Utilisez plutôt une pente très grande pour l'approcher, ou reformulez le problème.
Pourquoi deux résultats ? Deux droites sécantes forment toujours à la fois un angle aigu et un angle obtus dont la somme vaut \(180^\circ\). L'angle aigu est, par convention, l'« angle entre » les droites.
