2直線のなす角とは？
2本の直線が交わると、鋭角とその補角である鈍角という2組の角ができます。この計算ツールは、2直線の傾き \(m_1\) と \(m_2\) から、その交点でできる角度をグラフを描かずに直接求めます。座標幾何（解析幾何）や三角法はもちろん、測量やコンピューターグラフィックスの分野でも欠かせない定番ツールです。
使い方
1本目の直線の傾き（\(m_1\)）と、2本目の直線の傾き（\(m_2\)）を入力します。傾きとは、各直線の「縦の変化量÷横の変化量」のこと。直線の式 \(y = mx + b\) では、\(m\) が傾きにあたります。「計算」ボタンを押すと、鋭角が度数で表示され、あわせて補角である鈍角も求まります。
公式の解説
2直線のなす角 \(\theta\) は、次の式で求められます。
$$\theta = \arctan\left(\left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2}\right|\right) \times \frac{180}{\pi}$$
絶対値をとることで正接（tan）が必ず0以上になり、結果として鋭角が得られます。arctan の戻り値はラジアンなので、\(\frac{180}{\pi}\) を掛けて度数に変換します。なお、\(1 + m_1 m_2 = 0\) となる特別なケースでは分母が0になり、2直線は直交（垂直）し、角度はちょうど90°になります。この計算ツールはこのケースも自動で正しく処理します。
計算例
1本目の傾きを \(m_1 = 1\)、2本目を \(m_2 = 0\)（水平な直線）とします。すると $$\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1$$ となります。したがって \(\theta = \arctan(1) = 45^\circ\)。鈍角は \(180 - 45 = 135^\circ\) です。
重要な用語と変数
- 傾き (m)
- 直線の急勾配さを示す値で、垂直方向の変化と水平方向の変化の比として定義され、\(m = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) です。絶対値が大きいほど直線はより急勾配です。正の傾きは左から右へ上昇し、負の傾きは下降します。
- 傾斜角
- 単一の直線が正のx軸となす角度で、反時計方向に測定します。これは傾きと \(m = \tan(\alpha)\) の関係があります。2つの直線の間の角度は、それらの傾斜角の差です。
- 鋭角
- \(90^\circ\) より小さい角度です。正接公式の絶対値は常に、2つの交差する直線の間の鋭角を与えます。
- 鈍角 (補角)
- \(90^\circ\) と \(180^\circ\) の間の角度です。2つの交差する直線は、鋭角 \(\theta\) とその補角 \(180^\circ - \theta\) の両方を形成します。これらは交差点での4つの角度を説明します。
- 逆正接 (アークタンジェント、tan⁻¹)
- 正接値が与えられた値に等しい角度を返す関数で、\(\theta = \tan^{-1}(x)\) です。その主値の範囲は \(-90^\circ\) から \(90^\circ\) であり、非負の入力に適用すると鋭角を与えます。
- 垂直な直線
- \(90^\circ\) で交わる2つの直線です。垂直でない直線の場合、\(m_1 m_2 = -1\) の時に発生し、分母 \(1 + m_1 m_2 = 0\) となり、正接は未定義になります。
- 平行な直線
- 決して交差せず、等しい傾きを持つ2つの直線で、\(m_1 = m_2\) です。公式は分子が0となり、\(\theta = \tan^{-1}(0) = 0^\circ\) となります。
よくある質問
2直線が平行な場合は？ 平行な直線は傾きが等しく（\(m_1 = m_2\)）、\(\theta = 0^\circ\) になります。
垂直な直線（縦線）はどう入力すればいい？ 垂直な直線は傾きが定義できないため、そのままでは入力できません。非常に大きな値の傾きで近似するか、問題の立て方を工夫してください。
なぜ答えが2つあるの？ 交わる2直線は、必ず合計が180°になる鋭角と鈍角の両方をつくります。一般に「2直線のなす角」というときは、鋭角のほうを指します。
