什麼是兩曲線之間的面積？
兩曲線 \(f(x)\) 與 \(g(x)\) 在區間 \([a, b]\) 上的面積，指的是兩條圖形之間所圍成的整個區域。以數學式來表示，它等於兩函數差的絕對值之定積分，即 $$A = \int_{a}^{b} \left| f(x) - g(x) \right|\, dx.$$ 取絕對值可以確保面積永遠為正值——即使兩曲線在區間中交叉，或原本在上方的曲線在某處變成下方曲線，計算結果依然正確。
計算機怎麼用
請以 \(x\) 為變數輸入每一條函數，例如 x^2、2*x+1、sin(x) 或 4-x^2。接著填入下限 \(a\) 與上限 \(b\)，即可讀取面積結果。本工具支援 + − * / ^、括號、常數 pi 與 e，以及 sin、cos、tan、exp、ln、log、sqrt、abs 等函數。你不需要事先判斷哪一條曲線在上方——絕對差值會自動為你處理。
公式詳解
若在 \([a, b]\) 上處處滿足 \(f(x) \geq g(x)\)，面積就單純等於 \(\int_{a}^{b} (f - g)\, dx\)。當兩曲線交叉時，差值的正負號會改變，因此我們改用絕對值來積分，避免正負相消。本計算機會在數千個取樣點上計算被積函數，並採用複合辛普森法（Simpson's rule，\(n = 2000\)），對平滑函數能提供極高的精確度。
範例演練
求直線 \(y = x\) 與拋物線 \(y = x^2\) 在 \([0, 1]\) 上的面積。在此區間內 \(x \geq x^2\)，因此 $$A = \int_{0}^{1} (x - x^2)\, dx = \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \text{ 平方單位}.$$
如何手工計算兩條曲線之間的面積
曲線 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 在 \([a,b]\) 上的面積是它們之間絕對垂直距離的積分。因為曲線在交點處可能會互換位置，你不能盲目地積分 \(f-g\) — 這會導致符號相消。遵循以下步驟：
- 找到交點。求解 \(f(x)=g(x)\) 得到 \(x\)，只保留落在 \([a,b]\) 内的解。這些是上下曲線互換角色的點。
- 確定每個子區間上的上方曲線。在相鄰交點之間，差值 \(f-g\) 保持一個符號。在每段選擇一個測試點並計算 \(f-g\)：如果為正，\(f\) 在上方；如果為負，\(g\) 在上方。
- 在交點處分割積分。如果曲線在 \(c\) 處相交且 \(a
- 在每段上積分（上方 − 下方）。在每個子區間上，將較大的函數放在前面，使被積函數為非負：
$$A_i = \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}\big(\text{上方}(x)-\text{下方}(x)\big)\,dx.$$ - 對各段面積求和。加總這些部分：\(A = \sum_i A_i\)。每個 \(A_i\ge 0\)，所以沒有相消。
符號處理的細節：緊湊公式 \(A=\int_a^b |f(x)-g(x)|\,dx\) 是精確的，但當曲線相交時 \(\int_a^b (f-g)\,dx\) 不是面積。例如，如果 \(f-g\) 在寬度為 1 的區間上為 \(+2\)，在下一個寬度為 1 的區間上為 \(-2\)，原始帶符號的積分給出 \(2+(-2)=0\)，而真實面積是 \(|2|+|-2|=4\)。在交點處分割並對每段取正值，正是絕對值所做的。
關鍵術語
- 定積分
- 值 \(\int_a^b h(x)\,dx\)，表示從 \(x=a\) 到 \(x=b\) 時 \(h\) 的圖像與 x 軸之間的淨帶符號面積。
- 被積函數
- 被積分的函數。對於曲線之間的面積，被積函數是差值 \(f(x)-g(x)\)（或其絕對值）。
- |f − g|（絕對差）
- 每個 \(x\) 處曲線之間的非負垂直間隙。使用絕對值可保證積分測量幾何面積，而不會使正負區域相消。
- 交點 / 交叉點
- 一個 \(x\) 值，其中 \(f(x)=g(x)\)；曲線相接或互換上下位置。積分必須在 \([a,b]\) 內的任何交點處分割。
- 界限 a 和 b
- 積分的下限和上限，定義測量面積的水平區間。
- 上方 / 下方曲線
- 在給定的子區間上，上方曲線有更大的 \(y\) 值；面積被積函數是（上方 − 下方），因此保持非負。
- 複合辛普森法則
- 一種數值積分方法，通過在子區間對上擬合拋物線來近似 \(\int_a^b h\,dx\)；當被積函數沒有簡單的反導數時使用。
- 平方單位
- 面積結果的維度單位。由於面積結合了水平長度和垂直長度，答案以單位的平方表示。
常見問題
把哪條函數設為 f、哪條設為 g 有差別嗎？沒有差別。由於被積函數是 \(\left| f - g \right|\)，兩者對調後得到的面積完全相同。
如果曲線在 \([a, b]\) 之內交叉怎麼辦？絕對值會自動處理交叉的情況，所以結果是所圍成的「總面積」，而非帶正負號的差值。
計算結果有多精確？採用 2000 個子區間的辛普森法，對連續函數而言精確度極高，結果通常能與精確值吻合到小數點後許多位。
