समेशन (सिग्मा) कैलकुलेटर क्या है?
सिग्मा नोटेशन, जिसे Σ से दर्शाया जाता है, कई पदों के योग को संक्षेप में लिखने का तरीका है। व्यंजक "i=a से b तक f(i) का Σ" का अर्थ है: निचली सीमा a से शुरू करके ऊपरी सीमा b तक हर पूर्णांक i के लिए f(i) निकालें और फिर उन सभी मानों को जोड़ दें। यह कैलकुलेटर कई आम व्यंजकों के लिए यह योग निकालता है — \(i\), \(i^2\) (वर्ग), \(i^3\) (घन), \(c \cdot i\) और स्थिरांक \(c\) — ताकि आप अपना होमवर्क जाँच सकें, सूत्रों को सत्यापित कर सकें, या हर पद हाथ से लिखे बिना झटपट कुल पा सकें।
इसका उपयोग कैसे करें
f(i) के लिए व्यंजक का प्रकार चुनें। यदि आप \(c \cdot i\) या \(c\) चुनते हैं, तो स्थिरांक c दर्ज करें। इसके बाद निचली सीमा a और ऊपरी सीमा b सेट करें (दोनों पूर्णांक हों, और b ≥ a)। कैलकुलेटर उस परास के हर पूर्णांक i पर चक्कर लगाता है, f(i) की गणना करता है, और कुल योग के साथ-साथ जोड़े गए पदों की संख्या भी बताता है।
सूत्र की व्याख्या
सामान्य परिभाषा है:
$$\sum_{i=a}^{b} f(i) = f(a) + f(a+1) + \cdots + f(b)$$सबसे आम मामलों के लिए सीधे सूत्र (closed-form) भी मौजूद हैं: पहले n पूर्णांकों का योग \(\frac{n(n+1)}{2}\), वर्गों का योग \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), और घनों का योग \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^2\) होता है। यह टूल परिणाम को सीधे क्रमवार जोड़कर (iteration) निकालता है, जो इन सूत्रों से बिल्कुल मेल खाता है।
हल किया हुआ उदाहरण
i=1 से 5 तक i² का Σ निकालें। पद होंगे
$$1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$सीधे सूत्र से:
$$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$कैलकुलेटर 5 पदों के साथ 55 लौटाता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सीमाएँ ऋणात्मक हो सकती हैं? हाँ — a और b कोई भी पूर्णांक हो सकते हैं, बशर्ते b ≥ a हो। चक्कर बस a से b तक चलता है।
"स्थिरांक" प्रकार क्या करता है? \(c\) चुनने पर परास के हर पूर्णांक के लिए वही मान c एक बार जोड़ा जाता है, इसलिए परिणाम \(c \times (\text{पदों की संख्या})\) होता है।
परिणाम 0 क्यों आता है? यदि b, a से छोटा है तो जोड़ने के लिए कोई पद नहीं बचता, इसलिए योग 0 होता है।
