시그마(Σ) 합 계산기란?
Σ로 표기하는 시그마 기호는 여러 항의 합을 간결하게 나타내는 방법입니다. 'i=a부터 b까지 f(i)의 합'은 아래끝 a에서 시작해 위끝 b까지 모든 정수 i에 대해 f(i)를 계산한 뒤, 그 값들을 모두 더한다는 뜻입니다. 이 계산기는 \(i\), \(i^{2}\)(제곱), \(i^{3}\)(세제곱), \(\text{c} \cdot i\), 상수 \(\text{c}\)처럼 자주 쓰이는 식들의 합을 계산해 줍니다. 덕분에 숙제 검토, 공식 확인, 혹은 모든 항을 일일이 적지 않고도 빠르게 합계를 구할 수 있습니다.
사용 방법
먼저 f(i)의 식 종류를 선택하세요. c·i 또는 c를 고른 경우 상수 c 값을 입력합니다. 그다음 아래끝 a와 위끝 b를 설정합니다(둘 다 정수이며 b ≥ a여야 합니다). 계산기는 해당 구간의 정수 i를 하나씩 돌면서 f(i)를 계산하고, 더한 항의 개수와 함께 총합을 보여 줍니다.
공식 풀이
일반적인 정의는 'i=a부터 b까지 f(i)의 합 = f(a) + f(a+1) + … + f(b)'입니다.
$$\sum_{i=\text{a}}^{\text{b}} i$$
자주 쓰는 경우에는 닫힌 형태의 공식도 있습니다. 1부터 n까지 자연수의 합은 \(\frac{n(n+1)}{2}\), 제곱의 합은 \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\), 세제곱의 합은 \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\)입니다. 이 도구는 직접 반복 계산으로 결과를 구하므로, 위 공식들과 정확히 같은 값을 냅니다.
예제 풀이
i=1부터 5까지 i²의 합을 구해 봅시다. 각 항은 $$1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$입니다. 닫힌 공식으로 계산하면 $$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$입니다. 계산기는 항 5개와 함께 55를 반환합니다.
자주 묻는 질문
한계값이 음수여도 되나요? 네, b ≥ a이기만 하면 a와 b는 어떤 정수든 가능합니다. 계산은 단순히 a부터 b까지 진행됩니다.
'상수' 종류는 무엇을 하나요? c를 선택하면 구간 안의 정수마다 같은 값 c를 한 번씩 더하므로, 결과는 \(\text{c} \times (\text{항의 개수})\)가 됩니다.
결과가 0인 이유는? b가 a보다 작으면 더할 항이 없으므로 합은 0이 됩니다.
