ما هي حاسبة المجموع (سيجما)؟
صيغة سيجما، التي تُكتب بالرمز Σ، هي طريقة مختصرة وأنيقة للتعبير عن جمع عدد كبير من الحدود. فالتعبير \(\sum_{i=a}^{b} f(i)\) يعني: احسب قيمة \(f(i)\) عند كل عدد صحيح \(i\) بدءًا من الحد الأدنى \(a\) وانتهاءً بالحد الأعلى \(b\)، ثم اجمع كل هذه القيم معًا. تحسب هذه الأداة هذا المجموع لعدة تعابير شائعة — وهي \(i\) و \(i^{2}\) (المربعات) و \(i^{3}\) (المكعبات) و \(c \cdot i\) والثابت \(c\) — لتتمكن من مراجعة واجباتك، أو التحقق من صحة المعادلات، أو الحصول على المجموع بسرعة دون كتابة كل حدّ على حدة يدويًا.
كيفية الاستخدام
اختر نوع التعبير للدالة \(f(i)\). إذا اخترت \(c \cdot i\) أو \(c\)، فأدخِل قيمة الثابت \(c\). بعد ذلك حدّد الحد الأدنى \(a\) والحد الأعلى \(b\) (وكلاهما عددان صحيحان، بشرط أن يكون \(b \geq a\)). تمرّ الحاسبة على كل عدد صحيح \(i\) ضمن هذا المجال، وتحسب \(f(i)\)، ثم تعرض المجموع الكلي إلى جانب عدد الحدود التي تمّ جمعها.
شرح المعادلة
التعريف العام هو:
$$\sum_{i=a}^{b} f(i) = f(a) + f(a+1) + \ldots + f(b)$$وهناك صيغ مختصرة جاهزة لأكثر الحالات شيوعًا: مجموع أول \(n\) عدد صحيح يساوي \(\frac{n(n+1)}{2}\)، ومجموع المربعات يساوي \(\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)، ومجموع المكعبات يساوي \(\left[\frac{n(n+1)}{2}\right]^{2}\). تحسب هذه الأداة النتيجة بالتكرار المباشر، وهو ما يتطابق تمامًا مع نتائج تلك الصيغ.
مثال محلول
لنحسب \(\sum_{i=1}^{5} i^{2}\). الحدود هي:
$$1 + 4 + 9 + 16 + 25 = 55$$وباستخدام الصيغة المختصرة:
$$\frac{5 \cdot 6 \cdot 11}{6} = \frac{330}{6} = 55$$تُعيد الحاسبة النتيجة 55 مع 5 حدود.
الأسئلة الشائعة
هل يمكن أن تكون الحدود سالبة؟ نعم — يمكن أن يكون \(a\) و \(b\) أي عددين صحيحين طالما أن \(b \geq a\). يبدأ التكرار من \(a\) ويصعد حتى \(b\).
ماذا يفعل نوع "الثابت"؟ اختيار \(c\) يجمع القيمة نفسها \(c\) مرة واحدة عند كل عدد صحيح في المجال، فتكون النتيجة \(c \times (\text{عدد الحدود})\).
لماذا تظهر النتيجة 0؟ إذا كان \(b\) أصغر من \(a\) فلا توجد حدود لجمعها، وبالتالي يكون المجموع 0.
