Nội suy tuyến tính là gì?
Nội suy tuyến tính là phương pháp ước tính một giá trị chưa biết nằm giữa hai điểm dữ liệu đã biết. Phương pháp này giả định rằng mối quan hệ giữa các điểm là một đường thẳng, vì vậy giá trị cần tìm sẽ nằm tỷ lệ thuận dọc theo đường thẳng đó. Đây là một trong những kỹ thuật được dùng phổ biến nhất trong kỹ thuật, thống kê, tài chính, đồ họa máy tính và khoa học — bất cứ khi nào bạn có một bảng giá trị và cần tra một con số "nằm ở khoảng giữa".
Cách sử dụng máy tính này
Nhập tọa độ của hai điểm đã biết: (x₁, y₁) và (x₂, y₂). Sau đó nhập giá trị x mà bạn muốn ước tính y tương ứng. Máy tính sẽ trả về giá trị y nội suy cùng với độ dốc của đường thẳng nối hai điểm của bạn. Giá trị x có thể nằm giữa hai điểm (nội suy) hoặc nằm ngoài chúng (ngoại suy) — cùng một công thức đường thẳng đều áp dụng được trong cả hai trường hợp.
Giải thích công thức
Công thức là $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$. Phân số \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) chính là độ dốc — tức mức thay đổi của y trên mỗi đơn vị thay đổi của x. Nhân độ dốc với khoảng cách theo phương ngang \((\text{x} - \text{x}_1)\) ta được độ tăng từ y₁ đến điểm cần tìm. Cộng kết quả này với y₁ sẽ cho ra giá trị nội suy. Lưu ý rằng x₁ và x₂ phải khác nhau, nếu không độ dốc sẽ không xác định (do chia cho 0).
Ví dụ minh họa
Giả sử bạn biết tại \(\text{x}_1 = 10\) thì giá trị là \(\text{y}_1 = 20\), và tại \(\text{x}_2 = 20\) thì giá trị là \(\text{y}_2 = 40\). Vậy y bằng bao nhiêu khi \(\text{x} = 15\)? Độ dốc là $$\frac{40 - 20}{20 - 10} = 2$$ Khi đó $$y = 20 + (15 - 10) \times 2 = 20 + 10 = 30$$ Giá trị nội suy là 30.
Câu hỏi thường gặp
Tôi có thể ngoại suy ra ngoài hai điểm không? Có. Nếu x nhỏ hơn x₁ hoặc lớn hơn x₂, công thức sẽ kéo dài đường thẳng ra phía ngoài. Tuy nhiên hãy thận trọng — ngoại suy giả định rằng xu hướng tuyến tính vẫn tiếp diễn.
Thứ tự các điểm có quan trọng không? Không. Bạn có thể đổi chỗ (x₁,y₁) và (x₂,y₂) mà vẫn nhận được cùng kết quả, miễn là mỗi giá trị x được ghép đúng với giá trị y của nó.
Nếu x₁ bằng x₂ thì sao? Độ dốc sẽ không xác định (vì không thể chia cho 0), do đó không thể nội suy một đường thẳng đứng. Trong trường hợp đó máy tính sẽ trả về 0 — hãy điều chỉnh số liệu sao cho \(\text{x}_1 \neq \text{x}_2\).
