ما هو الاستيفاء الخطي؟
الاستيفاء الخطي هو أسلوب لتقدير قيمة مجهولة تقع بين نقطتي بيانات معلومتين. ويفترض أن العلاقة بين النقطتين تتبع خطًا مستقيمًا، بحيث تقع القيمة المجهولة بشكل متناسب على امتداد ذلك الخط. وهو من أكثر الأساليب استخدامًا في الهندسة والإحصاء والتمويل ورسوميات الحاسوب والعلوم، كلما كان لديك جدول قيم واحتجت إلى قراءة قيمة «بينية».
كيفية استخدام هذه الحاسبة
أدخل إحداثيات نقطتيك المعلومتين: (x₁، y₁) و(x₂، y₂). ثم أدخل قيمة x التي تريد تقدير قيمة y عندها. تعرض الحاسبة قيمة y المُستوفاة إلى جانب ميل الخط الواصل بين نقطتيك. ويمكن أن تقع قيمة x بين نقطتيك (استيفاء) أو خارجهما (استقراء) — وتنطبق صيغة الخط المستقيم نفسها في كلتا الحالتين.
شرح المعادلة
المعادلة هي $$y = \text{y}_1 + \left(\text{x} - \text{x}_1\right) \cdot \frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}$$ الكسر \(\frac{\text{y}_2 - \text{y}_1}{\text{x}_2 - \text{x}_1}\) يمثّل الميل — أي مقدار التغيّر في y لكل وحدة تغيّر في x. وبضرب الميل في المسافة الأفقية \((\text{x} - \text{x}_1)\) نحصل على مقدار الارتفاع من y₁ إلى النقطة المطلوبة. وبإضافته إلى y₁ نحصل على القيمة المُستوفاة. لاحظ أن x₁ و x₂ يجب أن يختلفا، وإلا أصبح الميل غير معرّف (قسمة على صفر).
مثال محلول
لنفترض أنك تعلم أنه عند x₁ = 10 تكون القيمة y₁ = 20، وعند x₂ = 20 تكون القيمة y₂ = 40. فما قيمة y عندما x = 15؟ الميل هو $$\frac{40 - 20}{20 - 10} = 2$$ ومنه $$y = 20 + (15 - 10) \times 2 = 20 + 10 = 30$$ إذًا القيمة المُستوفاة هي 30.
الأسئلة الشائعة
هل يمكنني الاستقراء خارج نقطتيّ؟ نعم. إذا كانت قيمة x أصغر من x₁ أو أكبر من x₂، فإن الصيغة تمدّد الخط المستقيم نحو الخارج. لكن توخَّ الحذر — فالاستقراء يفترض استمرار الاتجاه الخطي نفسه.
هل يهمّ ترتيب النقطتين؟ لا. يمكنك تبديل (x₁،y₁) و(x₂،y₂) وستحصل على النتيجة نفسها، ما دامت كل قيمة x مقترنة بقيمة y الصحيحة الخاصة بها.
ماذا لو كانت x₁ تساوي x₂؟ يصبح الميل غير معرّف (لا يمكن القسمة على صفر)، فلا يمكن استيفاء خط رأسي. تُرجع الحاسبة القيمة 0 في هذه الحالة — فعدّل مدخلاتك بحيث يكون x₁ ≠ x₂.
