वर्गिक अनुक्रम nवाँ पद कैलकुलेटर

गणना दर्ज करें

पहला पद (T₁)

दूसरा पद (T₂)

तीसरा पद (T₃)

पद संख्या n ज्ञात करें (वैकल्पिक)

परिणाम

nवाँ-पद नियम

T_n = 1n² + 2n + 0

पहले तीन पदों से ज्ञात a, b, c

गुणांक a	1
गुणांक b	2
गुणांक c	0
द्वितीय अंतर (= 2a)	2
Term T5	35

वर्गिक अनुक्रम nवाँ पद कैलकुलेटर क्या है?

वर्गिक अनुक्रम (क्वाड्रैटिक सीक्वेंस) संख्याओं की वह सूची है जिसके द्वितीय अंतर समान (अचर) रहते हैं। इसका व्यापक पद \(T_n = an^2 + bn + c\) नियम का पालन करता है। यह कैलकुलेटर ऐसे अनुक्रम के पहले तीन पद लेता है और a, b तथा c गुणांक निकालकर आपको पूरा nवाँ-पद सूत्र दे देता है। इतना ही नहीं, यह आपके चुने हुए किसी भी पद का मान भी ज्ञात कर सकता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले तीन पद (T₁, T₂ और T₃) क्रम से दर्ज करें। चाहें तो कोई पद संख्या n भी भरें, जिससे उस पद का मान तुरंत दिख जाए। कैलकुलेटर आपको नियम के साथ-साथ a, b, c के मान और अचर द्वितीय अंतर भी दिखाता है।

सूत्र की व्याख्या

लगातार आने वाले पदों के बीच अंतर निकालें: \(d_1 = T_2 - T_1\) और \(d_2 = T_3 - T_2\)। द्वितीय अंतर है \(\Delta^2 = d_2 - d_1\), और वर्गिक अनुक्रम में यह \(2a\) के बराबर होता है, इसलिए \(a = \Delta^2/2\)। चूँकि \(T_2 - T_1 = 3a + b\) है, इससे हमें \(b = (T_2 - T_1) - 3a\) मिलता है। अंत में, \(T_1 = a + b + c\) होने के कारण \(c = T_1 - a - b\)।

$$T_n = a\,n^{2} + b\,n + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right.$$

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पद के मान को स्थिति n के सापेक्ष आलेखित करने पर परवलय बनता है, जो द्विघात अनुक्रम की पहचान है।

द्विघात अनुक्रम का स्थिर दूसरा अंतर \(2a\) के बराबर होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

अनुक्रम 3, 8, 15 के लिए: प्रथम अंतर 5 और 7 हैं, इसलिए द्वितीय अंतर 2 हुआ, जिससे \(a = 1\) निकलता है। फिर \(b = 5 - 3(1) = 2\), और \(c = 3 - 1 - 2 = 0\)। तो नियम बनता है $$T_n = n^2 + 2n.$$ जाँच करें: \(T_5 = 25 + 10 = 35\)।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

सिर्फ़ तीन पद ही क्यों चाहिए? वर्गिक समीकरण में तीन अज्ञात (a, b, c) होते हैं, इसलिए इन्हें हल करने के लिए तीन समीकरण — हर पद से एक — पर्याप्त होते हैं।

अगर द्वितीय अंतर शून्य हो तो क्या? तब \(a = 0\) हो जाता है और अनुक्रम असल में रैखिक (समांतर श्रेणी) बन जाता है, यानी नियम घटकर \(T_n = bn + c\) रह जाता है।

क्या यह दशमलव या ऋणात्मक संख्याएँ संभाल सकता है? हाँ — पदों के लिए कोई भी वास्तविक संख्या चलती है, और गुणांक भिन्न या ऋणात्मक भी आ सकते हैं।