वर्गिक अनुक्रम nवाँ पद कैलकुलेटर क्या है?
वर्गिक अनुक्रम (क्वाड्रैटिक सीक्वेंस) संख्याओं की वह सूची है जिसके द्वितीय अंतर समान (अचर) रहते हैं। इसका व्यापक पद \(T_n = an^2 + bn + c\) नियम का पालन करता है। यह कैलकुलेटर ऐसे अनुक्रम के पहले तीन पद लेता है और a, b तथा c गुणांक निकालकर आपको पूरा nवाँ-पद सूत्र दे देता है। इतना ही नहीं, यह आपके चुने हुए किसी भी पद का मान भी ज्ञात कर सकता है।
इसका उपयोग कैसे करें
पहले तीन पद (T₁, T₂ और T₃) क्रम से दर्ज करें। चाहें तो कोई पद संख्या n भी भरें, जिससे उस पद का मान तुरंत दिख जाए। कैलकुलेटर आपको नियम के साथ-साथ a, b, c के मान और अचर द्वितीय अंतर भी दिखाता है।
सूत्र की व्याख्या
लगातार आने वाले पदों के बीच अंतर निकालें: \(d_1 = T_2 - T_1\) और \(d_2 = T_3 - T_2\)। द्वितीय अंतर है \(\Delta^2 = d_2 - d_1\), और वर्गिक अनुक्रम में यह \(2a\) के बराबर होता है, इसलिए \(a = \Delta^2/2\)। चूँकि \(T_2 - T_1 = 3a + b\) है, इससे हमें \(b = (T_2 - T_1) - 3a\) मिलता है। अंत में, \(T_1 = a + b + c\) होने के कारण \(c = T_1 - a - b\)।
$$T_n = a\,n^{2} + b\,n + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right.$$
हल किया हुआ उदाहरण
अनुक्रम 3, 8, 15 के लिए: प्रथम अंतर 5 और 7 हैं, इसलिए द्वितीय अंतर 2 हुआ, जिससे \(a = 1\) निकलता है। फिर \(b = 5 - 3(1) = 2\), और \(c = 3 - 1 - 2 = 0\)। तो नियम बनता है $$T_n = n^2 + 2n.$$ जाँच करें: \(T_5 = 25 + 10 = 35\)।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
सिर्फ़ तीन पद ही क्यों चाहिए? वर्गिक समीकरण में तीन अज्ञात (a, b, c) होते हैं, इसलिए इन्हें हल करने के लिए तीन समीकरण — हर पद से एक — पर्याप्त होते हैं।
अगर द्वितीय अंतर शून्य हो तो क्या? तब \(a = 0\) हो जाता है और अनुक्रम असल में रैखिक (समांतर श्रेणी) बन जाता है, यानी नियम घटकर \(T_n = bn + c\) रह जाता है।
क्या यह दशमलव या ऋणात्मक संख्याएँ संभाल सकता है? हाँ — पदों के लिए कोई भी वास्तविक संख्या चलती है, और गुणांक भिन्न या ऋणात्मक भी आ सकते हैं।
