गुणोत्तर श्रेणी क्या होती है?
गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Sequence) संख्याओं की ऐसी सूची है जिसमें हर पद पिछले पद को एक निश्चित संख्या से गुणा करके प्राप्त होता है। इस निश्चित संख्या को सार्व अनुपात (common ratio) कहते हैं और इसे \(r\) से दर्शाया जाता है। पहले पद \(a_1\) से शुरू करके श्रेणी इस तरह चलती है: \(a_1, a_1 r, a_1 r^2, a_1 r^3\), और आगे। गुणोत्तर श्रेणियाँ चक्रवृद्धि ब्याज, जनसंख्या वृद्धि, रेडियोधर्मी क्षय तथा भौतिकी व वित्त की कई समस्याओं में दिखाई देती हैं।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
तीन मान भरें: पहला पद (\(a_1\)), सार्व अनुपात (\(r\)), और जिस पद का मान आप जानना चाहते हैं उसकी स्थिति (\(n\))। कैलकुलेटर उस विशेष पद का मान \(a_n\) बताता है, साथ ही पहले \(n\) पदों का योग भी देता है। ध्यान रहे कि स्थिति \(n\) एक पूर्ण संख्या होनी चाहिए जो 1 या उससे अधिक हो।
सूत्र की व्याख्या
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद इस सूत्र से मिलता है:
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$घातांक \(n-1\) इसलिए है क्योंकि पहले पद (\(n = 1\)) में \(r\) से कोई गुणा नहीं होता (\(r^0 = 1\))। हर अगले कदम पर \(r\) का एक और गुणनखंड जुड़ता जाता है। परिमित श्रेणी के योग के लिए, जब \(r \neq 1\) हो, तो $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$ का प्रयोग होता है; और यदि \(r = 1\) हो तो योग केवल \(a_1 \cdot n\) होगा।
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए \(a_1 = 2\), \(r = 3\), और आपको 5वाँ पद चाहिए। तब $$a_5 = 2 \cdot 3^{\,5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$ पहले 5 पदों का योग होगा $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$$
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
अगर सार्व अनुपात ऋणात्मक हो तो? कैलकुलेटर ऋणात्मक अनुपात को भी संभाल लेता है; ऐसे में पदों के चिह्न बारी-बारी से बदलते रहते हैं। उदाहरण के लिए \(r = -2\) से एक दोलनशील (oscillating) श्रेणी बनती है।
क्या \(r\) एक भिन्न (fraction) हो सकता है? हाँ। 0 और 1 के बीच का अनुपात घटती हुई (क्षयशील) श्रेणी बनाता है, जैसे \(r = 0.5\)।
\(n = 1\) पर क्या मिलता है? जब \(n = 1\) होता है, तो परिणाम पहले पद \(a_1\) के बराबर होता है, क्योंकि \(r^0 = 1\)।
