Geometrik dizi nedir?
Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin ortak çarpan (\(r\)) adı verilen sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir sayı listesidir. İlk terim \(a_1\) olmak üzere dizi \(a_1, a_1 r, a_1 r^2, a_1 r^3\) şeklinde ilerler. Geometrik diziler bileşik faiz hesaplarında, nüfus artışında, radyoaktif bozunmada ve pek çok fizik ile finans probleminde karşımıza çıkar.
Hesaplayıcı nasıl kullanılır?
Üç değer girin: ilk terim (\(a_1\)), ortak çarpan (\(r\)) ve bulmak istediğiniz terimin sırası (\(n\)). Hesaplayıcı, o terimin değeri olan \(a_n\)'i ve ilk \(n\) terimin toplamını verir. Sıra değeri \(n\), 1 veya daha büyük bir tam sayı olmalıdır.
Formülün açıklaması
Geometrik bir dizinin n. terimi şu formülle bulunur:
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
Üs neden \(n-1\)? Çünkü ilk terimde (\(n = 1\)) henüz \(r\) ile çarpma yapılmaz (\(r^0 = 1\)). İleri doğru atılan her adım, diziye bir \(r\) çarpanı daha ekler. Sonlu serinin toplamı için \(r \neq 1\) olduğunda $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$ kullanılır; eğer \(r = 1\) ise toplam yalnızca \(a_1 \cdot n\) olur.
Çözümlü örnek
Diyelim ki \(a_1 = 2\), \(r = 3\) ve 5. terimi bulmak istiyorsunuz. Bu durumda $$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$ olur. İlk 5 terimin toplamı ise $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$$ şeklinde hesaplanır.
Sıkça sorulan sorular
Ortak çarpan negatifse ne olur? Hesaplayıcı negatif çarpanları da işler; bu durumda terimler dönüşümlü olarak işaret değiştirir. Örneğin \(r = -2\), salınımlı bir dizi oluşturur.
r bir kesir olabilir mi? Evet. 0 ile 1 arasındaki bir çarpan, \(r = 0{,}5\) gibi giderek azalan (sönümlenen) bir dizi üretir.
n = 1 ne sonuç verir? \(n = 1\) olduğunda sonuç ilk terim \(a_1\)'e eşittir, çünkü \(r^0 = 1\)'dir.
