Qu'est-ce qu'une suite géométrique ?
Une suite géométrique est une liste de nombres où chaque terme s'obtient en multipliant le terme précédent par un nombre constant appelé la raison, notée \(r\). À partir d'un premier terme \(a_1\), la suite s'écrit \(a_1, a_1 r, a_1 r^2, a_1 r^3\), et ainsi de suite. On rencontre les suites géométriques dans les intérêts composés, la croissance démographique, la désintégration radioactive ainsi que dans de nombreux problèmes de physique et de finance.
Comment utiliser ce calculateur
Renseignez trois valeurs : le premier terme (\(a_1\)), la raison (\(r\)) et le rang (\(n\)) du terme recherché. Le calculateur affiche \(a_n\), la valeur de ce terme précis, ainsi que la somme des \(n\) premiers termes. Le rang \(n\) doit être un entier supérieur ou égal à 1.
La formule expliquée
Le ne terme d'une suite géométrique est donné par :
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
L'exposant vaut \(n-1\) car le premier terme (\(n = 1\)) n'implique aucune multiplication par \(r\) (\(r^0 = 1\)). Chaque pas supplémentaire ajoute un facteur \(r\). La somme d'une série finie se calcule avec $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$ lorsque \(r \neq 1\) ; si \(r = 1\), la somme vaut simplement \(a_1 \cdot n\).
Exemple résolu
Supposons \(a_1 = 2\), \(r = 3\), et que vous cherchiez le 5e terme. Alors $$a_5 = 2 \cdot 3^{\,5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ La somme des 5 premiers termes est $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$
FAQ
Que se passe-t-il si la raison est négative ? Le calculateur gère les raisons négatives ; les termes alternent alors de signe. Par exemple, \(r = -2\) donne une suite oscillante.
La raison peut-elle être une fraction ? Oui. Une raison comprise entre 0 et 1 produit une suite décroissante (en déclin), comme \(r = 0{,}5\).
Que donne \(n = 1\) ? Lorsque \(n = 1\), le résultat est égal au premier terme \(a_1\), puisque \(r^0 = 1\).
