等比數列第 n 項計算機

輸入計算

首項 (a₁)

公比 (r)

項數位置 (n)

數學公式

Show calculation steps (1)

1. Sum of First n Terms (r ≠ 1)

   

   sum of the first n terms when the common ratio is not equal to 1

結果

Value of the 5th term (aₙ)

162

aₙ = a₁ · r⁽ⁿ⁻¹⁾

首項 (a₁)	2
公比 (r)	3
項數位置 (n)	5
前 n 項之和	242

什麼是等比數列？

等比數列是一串數字，其中每一項都由前一項乘以一個固定的數而來，這個固定的數稱為「公比」（\(r\)）。從首項 \(a_1\) 開始，整個數列依序為 \(a_1\)、\(a_1 r\)、\(a_1 r^2\)、\(a_1 r^3\)，以此類推。等比數列在複利計算、人口成長、放射性衰變，以及許多物理與金融問題中都會出現。

等比數列的每一項都是前一項乘以公比 \(r\)。

如何使用這個計算機

請輸入三個數值：首項（\(a_1\)）、公比（\(r\)），以及你想求的項數位置（\(n\)）。計算機會回傳 \(a_n\)，也就是該特定項的數值，並同時算出前 \(n\) 項的總和。項數 \(n\) 必須是大於或等於 1 的整數。

公式說明

等比數列第 \(n\) 項的公式如下：

$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$

指數之所以是 \(n-1\)，是因為首項（\(n = 1\)）並未乘以任何 \(r\)（\(r^0 = 1\)）。每往後一項，就再多乘一個 \(r\)。至於有限項的級數總和，當 \(r \neq 1\) 時為 $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^{\,n} - 1}{r - 1}$$；若 \(r = 1\)，總和就單純等於 \(a_1 \cdot n\)。

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第 \(n\) 項公式：首項 \(a_1\) 乘以公比 \(r\) 的 \(n\) 減 1 次方。

實例演算

假設 \(a_1 = 2\)、\(r = 3\)，而你想求第 5 項。那麼 $$a_5 = 2 \cdot 3^{\,5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$前 5 項的總和則為 $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$$

常見問題

如果公比是負數會怎樣？計算機能處理負的公比；此時各項的正負號會交替出現。例如 \(r = -2\) 會產生一個正負振盪的數列。

公比可以是分數嗎？可以。介於 0 與 1 之間的公比會產生遞減（衰減）的數列，例如 \(r = 0.5\)。

當 \(n = 1\) 時結果是什麼？當 \(n = 1\) 時，結果等於首項 \(a_1\)，因為 \(r^0 = 1\)。