Что такое геометрическая прогрессия?
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число — знаменатель прогрессии \(r\). Начиная с первого члена \(a_1\), последовательность выглядит так: \(a_1, a_1r, a_1r^2, a_1r^3\) и т. д. Геометрические прогрессии встречаются при расчёте сложных процентов, моделировании роста популяций, радиоактивного распада, а также во множестве задач из физики и финансов.
Как пользоваться калькулятором
Введите три значения: первый член (\(a_1\)), знаменатель прогрессии (\(r\)) и номер (\(n\)) интересующего вас члена. Калькулятор вернёт \(a_n\) — значение этого конкретного члена, а также сумму первых \(n\) членов. Номер \(n\) должен быть целым числом не меньше 1.
Разбор формулы
n-й член геометрической прогрессии вычисляется так:
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
В показателе степени стоит \(n-1\), потому что первый член (\(n = 1\)) не умножается на \(r\) вовсе (\(r^0 = 1\)). Каждый шаг вперёд добавляет ещё один множитель \(r\). Сумма конечного ряда находится по формуле $$S_n = a_1\frac{r^n - 1}{r - 1}$$ при \(r \neq 1\); если же \(r = 1\), сумма равна просто \(a_1 \cdot n\).
Пример с решением
Пусть \(a_1 = 2\), \(r = 3\), и нужно найти 5-й член. Тогда $$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ Сумма первых 5 членов равна $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$
Частые вопросы
Что если знаменатель отрицательный? Калькулятор работает и с отрицательными знаменателями — члены прогрессии будут чередовать знак. Например, при \(r = -2\) получается знакопеременная последовательность.
Может ли r быть дробью? Да. Знаменатель от 0 до 1 даёт убывающую (затухающую) прогрессию, например \(r = 0{,}5\).
Что получится при n = 1? При \(n = 1\) результат равен первому члену \(a_1\), поскольку \(r^0 = 1\).
