등비수열 일반항 계산기 (aₙ = a₁·rⁿ⁻¹)

공식

Show calculation steps (1)

Sum of First n Terms (r ≠ 1)

sum of the first n terms when the common ratio is not equal to 1

결과

Value of the 5th term (aₙ)

162

aₙ = a₁ · r⁽ⁿ⁻¹⁾

첫째항 (a₁)	2
공비 (r)	3
항의 위치 (n)	5
첫 n개 항의 합	242

등비수열이란?

등비수열은 각 항이 바로 앞 항에 일정한 수(공비, $r$)를 곱해서 만들어지는 수의 나열입니다. 첫째항 $a_1$에서 시작하면 수열은 $a_1, a_1 r, a_1 r^2, a_1 r^3 \ldots$ 과 같이 이어집니다. 등비수열은 복리 이자, 인구 증가, 방사성 붕괴 등 다양한 물리·금융 문제에서 자주 등장합니다.

크기가 커지는 점들이 각 항에 공비를 곱하는 모습을 보여줌 — 등비수열의 각 항은 이전 항에 공비 $r$을 곱한 값입니다.

계산기 사용법

세 가지 값을 입력하세요. 첫째항($a_1$), 공비($r$), 그리고 구하고 싶은 항의 위치($n$)입니다. 계산기는 해당 항의 값인 $a_n$과 함께 첫 $n$개 항의 합도 함께 알려줍니다. 항의 위치 $n$은 반드시 1 이상의 자연수여야 합니다.

공식 풀이

등비수열의 n번째 항은 다음과 같이 구합니다.

$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$

지수가 $n-1$인 이유는 첫째항($n = 1$)에서는 공비 $r$을 한 번도 곱하지 않기 때문입니다($r^0 = 1$). 한 항씩 앞으로 갈 때마다 $r$을 한 번 더 곱하게 됩니다. 첫 $n$개 항의 합은 $r \neq 1$일 때 $$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$$로 구하며, $r = 1$이면 합은 단순히 $a_1 \cdot n$이 됩니다.

공식 분해: 첫째항, n−1 제곱한 공비, 제n항 — 제n항 공식: 첫째항 $a_1$에 공비 $r$의 $n-1$ 제곱을 곱한 값.

예제로 이해하기

예를 들어 $a_1 = 2$, $r = 3$일 때 5번째 항을 구해 봅시다. $$a_5 = 2 \cdot 3^{\,5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$가 됩니다. 첫 5개 항의 합은 $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$$입니다.