Cấp số nhân là gì?
Cấp số nhân là một dãy số mà mỗi số hạng được tạo ra bằng cách nhân số hạng đứng trước với một số cố định, gọi là công bội \(r\). Bắt đầu từ số hạng đầu \(a_1\), dãy số sẽ là \(a_1, a_1 r, a_1 r^2, a_1 r^3\), và cứ tiếp tục như vậy. Cấp số nhân xuất hiện rất nhiều trong thực tế: tính lãi kép, tăng trưởng dân số, phân rã phóng xạ cũng như vô số bài toán vật lý và tài chính.
Cách sử dụng máy tính
Bạn chỉ cần nhập ba giá trị: số hạng đầu (\(a_1\)), công bội (\(r\)) và vị trí (\(n\)) của số hạng cần tìm. Máy tính sẽ trả về \(a_n\) — giá trị của số hạng đó — cùng với tổng \(n\) số hạng đầu tiên. Lưu ý vị trí \(n\) phải là số nguyên lớn hơn hoặc bằng 1.
Giải thích công thức
Số hạng thứ \(n\) của cấp số nhân được tính bằng công thức:
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
Số mũ là \(n-1\) bởi vì số hạng đầu tiên (\(n = 1\)) chưa hề nhân với \(r\) lần nào (\(r^0 = 1\)). Mỗi bước tiến lên, ta lại nhân thêm một thừa số \(r\). Tổng của \(n\) số hạng đầu (chuỗi hữu hạn) được tính theo công thức $$S_n = \frac{a_1 (r^n - 1)}{r - 1}$$ khi \(r \neq 1\); còn nếu \(r = 1\) thì tổng đơn giản là \(a_1 \cdot n\).
Ví dụ minh họa
Giả sử \(a_1 = 2\), \(r = 3\) và bạn muốn tìm số hạng thứ 5. Khi đó $$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ Tổng của 5 số hạng đầu tiên là $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$
Câu hỏi thường gặp
Nếu công bội là số âm thì sao? Máy tính vẫn xử lý được công bội âm; khi đó các số hạng sẽ đổi dấu xen kẽ nhau. Ví dụ \(r = -2\) tạo ra một dãy số dao động lên xuống.
Công bội \(r\) có thể là phân số không? Có. Công bội nằm trong khoảng từ 0 đến 1 sẽ tạo ra một dãy số giảm dần (suy giảm), chẳng hạn \(r = 0{,}5\).
Khi \(n = 1\) thì kết quả là gì? Khi \(n = 1\), kết quả chính bằng số hạng đầu \(a_1\), vì \(r^0 = 1\).
