等比数列とは？
等比数列とは、ある項に決まった数（公比 \(r\)）を掛けることで次の項が決まる数の並びのことです。初項 \(a_1\) から始めると、数列は \(a_1\)、\(a_1 r\)、\(a_1 r^2\)、\(a_1 r^3\) … と続いていきます。等比数列は複利計算、人口の増加、放射性物質の減衰など、物理や金融のさまざまな場面で登場します。
この計算ツールの使い方
入力する値は3つです。初項（\(a_1\)）、公比（\(r\)）、そして求めたい項の位置（\(n\)）を入力してください。計算ツールは、指定した第n項の値 \(a_n\) と、初項から第n項までの和をあわせて表示します。なお、項番号 \(n\) は1以上の整数で入力する必要があります。
公式の解説
等比数列の第n項は次の式で求められます。
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
指数が \(n-1\) になるのは、初項（\(n = 1\)）では公比 \(r\) を一度も掛けていない（\(r^0 = 1\)）からです。1項進むごとに公比 \(r\) を1回ずつ掛けていきます。有限項の和は、\(r \neq 1\) のとき $$S_n = \frac{a_1(r^n - 1)}{r - 1}$$ で求められます。\(r = 1\) のときは単純に \(a_1 \cdot n\) となります。
計算例
たとえば \(a_1 = 2\)、\(r = 3\) として、第5項を求めてみましょう。すると $$a_5 = 2 \cdot 3^{\,5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162$$ となります。また、初項から第5項までの和は $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242$$ です。
よくある質問（FAQ）
公比がマイナスのときはどうなりますか？ このツールは負の公比にも対応しています。その場合、各項の符号はプラスとマイナスが交互に現れます。たとえば \(r = -2\) では、符号が振動する数列になります。
公比を分数（小数）にできますか？ はい、可能です。公比が0と1の間の値だと、項がだんだん小さくなる（減衰する）数列になります。たとえば \(r = 0.5\) がその例です。
n = 1 のときは何が得られますか？ \(n = 1\) のときは、\(r^0 = 1\) なので結果は初項 \(a_1\) そのものに一致します。
