ما هي المتتالية الهندسية؟
المتتالية الهندسية هي سلسلة من الأعداد يُحسب فيها كل حد بضرب الحد السابق في عدد ثابت يُسمى الأساس ويُرمز له بالرمز \(r\). وانطلاقًا من حدٍّ أول هو \(a_1\)، تسير المتتالية على النحو: \(a_1\)، \(a_1 r\)، \(a_1 r^2\)، \(a_1 r^3\)، وهكذا. وتظهر المتتاليات الهندسية في حساب الفائدة المركبة، ونمو السكان، والتحلل الإشعاعي، وكثير من مسائل الفيزياء والمال والأعمال.
كيفية استخدام الحاسبة
أدخل ثلاث قيم: الحد الأول (\(a_1\))، والأساس (\(r\))، وموضع الحد المطلوب (\(n\)). تُرجِع الحاسبة قيمة الحد \(a_n\) عند ذلك الموضع تحديدًا، إضافةً إلى مجموع أول \(n\) حدًّا. ويجب أن يكون الموضع \(n\) عددًا صحيحًا يساوي 1 أو أكبر.
شرح القانون
يُعطى الحد النوني للمتتالية الهندسية بالعلاقة التالية:
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
الأُس هو \(n-1\) لأن الحد الأول (حين \(n = 1\)) لا يتضمن أي ضرب في الأساس \(r\) (إذ إن \(r^0 = 1\)). وكل خطوة إلى الأمام تعني الضرب في عامل إضافي واحد من \(r\). أما مجموع المتسلسلة المنتهية فيُحسب بالقانون \(S_n = a_1 \dfrac{r^n - 1}{r - 1}\) عندما يكون \(r \neq 1\)؛ وإذا كان \(r = 1\) فإن المجموع يساوي ببساطة \(a_1 \cdot n\).
مثال محلول
لنفترض أن \(a_1 = 2\)، و \(r = 3\)، وتريد إيجاد الحد الخامس. عندئذٍ يكون $$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ أما مجموع أول 5 حدود فهو: $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$
الأسئلة الشائعة
ماذا لو كان الأساس سالبًا؟ تتعامل الحاسبة مع الأساسات السالبة، وفي هذه الحالة تتناوب إشارات الحدود بين الموجب والسالب. فمثلًا يعطي \(r = -2\) متتالية متذبذبة الإشارة.
هل يمكن أن يكون الأساس كسرًا؟ نعم. الأساس الذي تتراوح قيمته بين 0 و1 يُنتج متتالية متناقصة (متضائلة)، مثل \(r = 0.5\).
ماذا يكون الناتج عند \(n = 1\)؟ عندما يكون \(n = 1\) فإن الناتج يساوي الحد الأول \(a_1\)، لأن \(r^0 = 1\).
