¿Qué es una progresión geométrica?
Una progresión geométrica es una sucesión de números en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo llamado razón, \(r\). A partir de un primer término \(a_1\), la sucesión avanza así: \(a_1, a_1r, a_1r^2, a_1r^3\), y así sucesivamente. Las progresiones geométricas aparecen en el interés compuesto, el crecimiento de poblaciones, la desintegración radiactiva y en numerosos problemas de física y finanzas.
Cómo usar esta calculadora
Introduce tres valores: el primer término (\(a_1\)), la razón (\(r\)) y la posición (\(n\)) del término que quieres calcular. La calculadora te devuelve \(a_n\), el valor de ese término concreto, junto con la suma de los \(n\) primeros términos. La posición \(n\) debe ser un número entero igual o mayor que 1.
La fórmula explicada
El término \(n\) de una progresión geométrica se calcula con:
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$El exponente es \(n-1\) porque el primer término (\(n = 1\)) no implica ninguna multiplicación por \(r\) (\(r^0 = 1\)). Cada paso adelante multiplica por un factor más de \(r\). La suma de la serie finita se obtiene con $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$ cuando \(r \neq 1\); si \(r = 1\), la suma es simplemente \(a_1 \cdot n\).
Ejemplo resuelto
Supongamos que \(a_1 = 2\), \(r = 3\) y quieres calcular el 5.º término. Entonces $$a_5 = 2 \cdot 3^{5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ La suma de los 5 primeros términos es $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$
Preguntas frecuentes
¿Qué ocurre si la razón es negativa? La calculadora admite razones negativas; en ese caso los términos van alternando de signo. Por ejemplo, con \(r = -2\) se obtiene una sucesión oscilante.
¿Puede ser \(r\) una fracción? Sí. Una razón entre 0 y 1 genera una sucesión decreciente (de decaimiento), como \(r = 0{,}5\).
¿Qué resulta con \(n = 1\)? Cuando \(n = 1\), el resultado coincide con el primer término \(a_1\), ya que \(r^0 = 1\).
