什么是等比数列？
等比数列是一组数字，其中每一项都由前一项乘以一个固定的数得到，这个固定的数称为公比 \(r\)。从首项 \(a_1\) 开始，数列依次为 \(a_1\)、\(a_1 r\)、\(a_1 r^2\)、\(a_1 r^3\)，以此类推。等比数列广泛出现在复利计算、人口增长、放射性衰变以及许多物理和金融问题中。
如何使用本计算器
请输入三个数值：首项（\(a_1\)）、公比（\(r\)），以及你想求的项的位置（\(n\)）。计算器会返回 \(a_n\)，即该特定项的数值，同时给出前 \(n\) 项之和。注意，项数 \(n\) 必须是大于或等于 1 的整数。
公式详解
等比数列第 \(n\) 项的公式为：
$$a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$$
指数之所以是 \(n-1\)，是因为首项（\(n = 1\)）不需要乘以 \(r\)（因为 \(r^0 = 1\)）。每往后推进一项，就多乘以一个公比 \(r\)。有限项求和方面，当 \(r \ne 1\) 时使用 $$S_n = a_1 \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1}$$；若 \(r = 1\)，则和就是 \(a_1 \cdot n\)。
实例演示
假设 \(a_1 = 2\)，\(r = 3\)，要求第 5 项。那么 $$a_5 = 2 \cdot 3^{\,5-1} = 2 \cdot 3^4 = 2 \cdot 81 = 162.$$ 前 5 项之和为 $$2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 242.$$
常见问题
如果公比是负数会怎样？ 本计算器支持负公比，此时各项的正负号会交替出现。例如 \(r = -2\) 会得到一个正负交替的振荡数列。
公比可以是分数吗？ 可以。当公比在 0 到 1 之间时，会得到一个递减（衰减）数列，例如 \(r = 0.5\)。
当 n = 1 时结果是什么？ 当 \(n = 1\) 时，结果就等于首项 \(a_1\)，因为 \(r^0 = 1\)。
