परिणाम

सार्व अनुपात (r)

r = a(n+1) / a(n)

पद a(n)	2
अगला पद a(n+1)	6

सार्व अनुपात क्या होता है?

गुणोत्तर श्रेणी (Geometric Sequence) में हर पद पिछले पद को एक नियत संख्या से गुणा करके मिलता है, जिसे सार्व अनुपात कहते हैं और इसे $r$ से दर्शाया जाता है। अगर आपको कोई भी दो लगातार पद पता हों, तो बाद वाले पद को पहले वाले पद से भाग देकर आप $r$ आसानी से निकाल सकते हैं। यह कैलकुलेटर ठीक यही काम आपके लिए कर देता है।

एक गुणोत्तर श्रेणी, जिसमें तीर दिखाते हैं कि अगला पद पाने के लिए हर पद को एक स्थिर अनुपात से गुणा किया जाता है — अगला पद पाने के लिए हर पद को सार्व अनुपात $r$ से गुणा किया जाता है।

इसका उपयोग कैसे करें

पहले बॉक्स में अपनी श्रेणी का कोई एक पद डालें और दूसरे बॉक्स में उसके ठीक बाद वाला पद डालें। कैलकुलेटर तुरंत $r$ का मान बता देगा। ये पद धनात्मक, ऋणात्मक, पूर्ण संख्या या दशमलव — कुछ भी हो सकते हैं।

सूत्र को समझें

गुणोत्तर श्रेणी की मूल विशेषता है $a_{n+1} = r \times a_n$। इसे $r$ के लिए हल करने पर मिलता है $$r = \frac{\text{Next term }(a_{n+1})}{\text{Term }(a_n)}$$ चूँकि यह अनुपात हमेशा एक समान रहता है, इसलिए आप कोई भी आसपास के दो पद चुन लें — $r$ का मान हमेशा एक ही आएगा (बशर्ते श्रेणी सचमुच गुणोत्तर हो)।

सूत्र आरेख जो दिखाता है कि एक पद को पिछले पद से भाग देने पर r आता है — किसी भी पद को उसके पिछले पद से भाग देने पर सार्व अनुपात $r$ मिलता है।

हल किया हुआ उदाहरण

मान लीजिए कोई पद 2 है और उसके बाद वाला पद 6 है। तब $$r = \frac{6}{2} = 3$$ यानी श्रेणी इस तरह आगे बढ़ती है: 2, 6, 18, 54, ... जहाँ हर पद पिछले पद का तीन गुना होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

क्या अनुपात ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। अगर पदों का चिह्न बदलता रहे, जैसे 4 के बाद -8, तो $r = \frac{-8}{4} = -2$ होगा, जिससे एक एकांतर (alternating) श्रेणी बनती है।

अगर अनुपात -1 और 1 के बीच हो तो? ऐसी स्थिति में श्रेणी घटते हुए शून्य की ओर बढ़ती है। उदाहरण के लिए 8 के बाद 4 आने पर $r = 0.5$ होता है।

पहला पद शून्य क्यों नहीं हो सकता? शून्य से भाग देना अपरिभाषित होता है, और एक सच्ची गुणोत्तर श्रेणी में शून्य पद हो ही नहीं सकता। इसीलिए पहले बॉक्स में 0 नहीं डाल सकते।

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