सार्व अंतर क्या होता है?
समांतर श्रेढ़ी (Arithmetic Sequence) में हर पद एक तय मात्रा से बढ़ता या घटता है। इस तय मात्रा को ही सार्व अंतर (common difference) कहते हैं, जिसे \(d\) से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, 3, 7, 11, 15, … में सार्व अंतर 4 है, क्योंकि हर पद अपने पिछले पद से 4 ज़्यादा है।
इस कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
पहला पद (a₁), उसके बाद का कोई भी पद (aₙ), और उस पद की स्थिति (n) दर्ज करें। कैलकुलेटर आपको सार्व अंतर और दूसरा पद बताएगा, ताकि आप श्रेढ़ी को आगे आसानी से बढ़ा सकें। स्थिति \(n\) कम से कम 2 होनी चाहिए, क्योंकि अंतर \((n - 1)\) चरणों में फैला होता है।
सूत्र को समझें
अगर दो पद एक-दूसरे के ठीक बगल में हों, तो सार्व अंतर बस उनके बीच का अंतर है: $$d = a_{n+1} - a_n$$ और जब आपको पहला पद तथा आगे का कोई पद पता हो, तो a₁ से aₙ तक का पूरा बदलाव \((n - 1)\) बराबर चरणों में होता है, इसलिए:
$$d = \frac{a_n - a_1}{n - 1}$$
हल किया हुआ उदाहरण
मान लीजिए a₁ = 2 है, और 10वाँ पद a₁₀ = 20 है, यानी n = 10। तब $$d = \frac{20 - 2}{10 - 1} = \frac{18}{9} = 2$$ दूसरा पद a₂ = 2 + 2 = 4 होगा, जिससे श्रेढ़ी 2, 4, 6, 8, …, 20 की पुष्टि हो जाती है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या सार्व अंतर ऋणात्मक हो सकता है? हाँ। घटती हुई श्रेढ़ी जैसे 10, 7, 4, 1 में \(d = -3\) होता है।
क्या यह दशमलव या भिन्न हो सकता है? बिल्कुल — \(d\) कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है, जैसे 0.5 या 2.25।
अगर d = 0 हो तो? तब सभी पद बराबर होंगे (अचर श्रेढ़ी), जो फिर भी एक मान्य समांतर श्रेढ़ी ही है।
