À quoi sert ce calculateur de terme général ?
Une suite du second degré (ou suite quadratique) est une liste de nombres dont les différences secondes sont constantes. Son terme général suit la formule \(T_n = an^2 + bn + c\). Ce calculateur part des trois premiers termes d'une telle suite et détermine les coefficients a, b et c, afin de vous donner la formule complète du terme général. Il peut aussi évaluer directement le terme de votre choix.
Comment l'utiliser
Saisissez les trois premiers termes (T₁, T₂ et T₃) dans l'ordre. Vous pouvez également indiquer un rang n pour obtenir immédiatement la valeur de ce terme. Le calculateur affiche la formule, ainsi que les valeurs de a, b, c et la différence seconde constante.
La formule expliquée
Calculez d'abord les différences entre termes consécutifs : \(d_1 = T_2 - T_1\) et \(d_2 = T_3 - T_2\). La différence seconde vaut \(\Delta^2 = d_2 - d_1\) ; pour une suite quadratique, elle est égale à \(2a\), donc \(a = \Delta^2/2\). Comme \(T_2 - T_1 = 3a + b\), on obtient \(b = (T_2 - T_1) - 3a\). Enfin, puisque \(T_1 = a + b + c\), on en déduit \(c = T_1 - a - b\).
Exemple détaillé
Prenons la suite 3, 8, 15 : les différences premières sont 5 et 7, la différence seconde vaut donc 2, ce qui donne \(a = 1\). On a ensuite $$b = 5 - 3(1) = 2,$$ puis $$c = 3 - 1 - 2 = 0.$$ La formule est $$T_n = n^2 + 2n.$$ Vérification avec $$T_5 = 25 + 10 = 35.$$
Questions fréquentes
Pourquoi trois termes suffisent-ils ? Une expression du second degré compte trois inconnues (a, b et c) : trois équations — une par terme — suffisent donc à les déterminer.
Et si la différence seconde est nulle ? Alors \(a = 0\) et la suite est en réalité linéaire (arithmétique) ; la formule se réduit à \(T_n = bn + c\).
Les décimaux et les nombres négatifs sont-ils acceptés ? Oui : les termes peuvent être n'importe quels nombres réels, et les coefficients peuvent prendre des valeurs fractionnaires ou négatives.
