什麼是二次數列第 n 項計算機？
所謂二次數列，是指二階差分為定值的一串數字，其通項可寫成 \(T_n = an^2 + bn + c\)。只要輸入數列的前三項，這個計算機就會自動解出係數 a、b、c，給你完整的第 n 項公式；此外，還能直接算出你指定的任何一項的數值。
使用方式
依序填入前三項（T₁、T₂、T₃）。若想查看某一項，可再輸入項數 n，立即得到該項的值。計算機會同時顯示通項公式，以及 a、b、c 與固定的二階差分。
公式原理
先求相鄰兩項的差：\(d_1 = T_2 - T_1\)、\(d_2 = T_3 - T_2\)。二階差分為 \(\Delta^2 = d_2 - d_1\)，對二次數列而言這個值等於 \(2a\)，因此 \(a = \Delta^2/2\)。又因為 \(T_2 - T_1 = 3a + b\)，可得 \(b = (T_2 - T_1) - 3a\)。最後，由 \(T_1 = a + b + c\)，便能算出 \(c = T_1 - a - b\)。
$$T_n = a\,n^{2} + b\,n + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right.$$Advertisement
實例演算
以數列 3、8、15 為例：一階差分為 5 與 7，二階差分為 2，所以 \(a = 1\)。接著 \(b = 5 - 3(1) = 2\)，\(c = 3 - 1 - 2 = 0\)。通項公式即為 $$T_n = n^2 + 2n.$$ 驗算 \(T_5 = 25 + 10 = 35\)，完全吻合。
常見問題
為什麼只要三項就夠？二次通項共有三個未知數（a、b、c），三項剛好提供三條方程式，足以解出全部係數。
如果二階差分是 0 怎麼辦？這代表 \(a = 0\)，數列其實是等差（線性）數列，通項便簡化為 \(T_n = bn + c\)。
能處理小數或負數嗎？可以。各項可以是任意實數，求出的係數也可能是分數或負數。
