Máy tính số hạng tổng quát của dãy số bậc hai là gì?
Dãy số bậc hai là một dãy số mà hiệu cấp hai (hiệu của các hiệu) luôn không đổi. Số hạng tổng quát của nó có dạng \(T_n = a n^2 + b n + c\). Công cụ này nhận ba số hạng đầu tiên của dãy, tính ra các hệ số a, b và c, từ đó cho bạn công thức số hạng tổng quát đầy đủ. Ngoài ra, nó còn tính được giá trị của bất kỳ số hạng cụ thể nào bạn muốn.
Cách sử dụng
Nhập ba số hạng đầu (T₁, T₂ và T₃) theo đúng thứ tự. Nếu muốn, bạn có thể nhập thêm số thứ tự n để xem ngay giá trị của số hạng đó. Máy tính sẽ hiển thị công thức cùng với giá trị của a, b, c và hiệu cấp hai không đổi.
Giải thích công thức
Đầu tiên, lấy hiệu giữa các số hạng liên tiếp: \(d_1 = T_2 - T_1\) và \(d_2 = T_3 - T_2\). Hiệu cấp hai là \(\Delta^2 = d_2 - d_1\), và đối với dãy bậc hai thì giá trị này bằng \(2a\), nên \(a = \Delta^2/2\). Vì \(T_2 - T_1 = 3a + b\), ta suy ra \(b = (T_2 - T_1) - 3a\). Cuối cùng, do \(T_1 = a + b + c\), ta có \(c = T_1 - a - b\).
$$\begin{gathered} T_n = a\,n^{2} + b\,n + c \\[1.5em] \text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right. \end{gathered}$$
Ví dụ minh họa
Với dãy số 3, 8, 15: hiệu cấp một là 5 và 7, nên hiệu cấp hai bằng 2, suy ra \(a = 1\). Tiếp theo, \(b = 5 - 3(1) = 2\), và \(c = 3 - 1 - 2 = 0\). Vậy công thức là $$T_n = n^2 + 2n.$$ Kiểm tra lại: \(T_5 = 25 + 10 = 35\).
Câu hỏi thường gặp
Vì sao chỉ cần ba số hạng? Một dãy bậc hai có ba ẩn số (a, b, c), nên ba phương trình — mỗi phương trình ứng với một số hạng — là đủ để giải ra cả ba.
Nếu hiệu cấp hai bằng 0 thì sao? Khi đó \(a = 0\) và dãy thực ra là dãy tuyến tính (cấp số cộng), nên công thức rút gọn thành \(T_n = bn + c\).
Có dùng được số thập phân hay số âm không? Có — các số hạng có thể là bất kỳ số thực nào, và các hệ số kết quả có thể là phân số hoặc số âm.
