Kuadratik Dizide n. Terim Hesaplayıcı nedir?
Kuadratik dizi, ikinci farkları sabit olan bir sayı dizisidir. Genel terimi \(T_n = an^2 + bn + c\) kuralına uyar. Bu hesaplayıcı, böyle bir dizinin ilk üç terimini alır; a, b ve c katsayılarını bulur ve size n. terimin tam formülünü verir. Ayrıca seçtiğiniz herhangi bir terimin değerini de hesaplayabilir.
Nasıl kullanılır?
İlk üç terimi (T₁, T₂ ve T₃) sırasıyla girin. İsterseniz bir terim numarası n girerek o terimi anında görebilirsiniz. Hesaplayıcı; kural ile birlikte a, b, c değerlerini ve sabit ikinci farkı gösterir.
Formülün açıklaması
Ardışık terimler arasındaki farkları alın: \(d_1 = T_2 - T_1\) ve \(d_2 = T_3 - T_2\). İkinci fark \(\Delta^2 = d_2 - d_1\) olur ve bir kuadratik dizide bu değer 2a'ya eşittir; dolayısıyla \(a = \Delta^2/2\). \(T_2 - T_1 = 3a + b\) olduğundan, \(b = (T_2 - T_1) - 3a\) elde edilir. Son olarak \(T_1 = a + b + c\) olduğu için \(c = T_1 - a - b\) bulunur.
$$T_n = a\,n^{2} + b\,n + c$$ $$\text{where}\quad \left\{ \begin{aligned} a &= \frac{(\text{T}_3 - \text{T}_2) - (\text{T}_2 - \text{T}_1)}{2} \\ b &= (\text{T}_2 - \text{T}_1) - 3a \\ c &= \text{T}_1 - a - b \\ n &= \text{Term number} \end{aligned} \right.$$
Çözümlü örnek
3, 8, 15 dizisini ele alalım: ilk farklar 5 ve 7'dir, yani ikinci fark 2 olur ve \(a = 1\) elde edilir. Ardından \(b = 5 - 3(1) = 2\) ve \(c = 3 - 1 - 2 = 0\) olur. Kural \(T_n = n^2 + 2n\)'dir. Kontrol edelim: \(T_5 = 25 + 10 = 35\).
Sıkça Sorulan Sorular
Neden yalnızca üç terim yeterli? Bir kuadratik ifadenin üç bilinmeyeni (a, b, c) vardır; her terim bir denklem verdiği için üç terim bunları çözmeye yeter.
İkinci fark sıfır olursa ne olur? O zaman \(a = 0\) olur ve dizi aslında doğrusaldır (aritmetiktir); kural \(T_n = bn + c\) haline gelir.
Ondalık veya negatif sayılarla çalışır mı? Evet; terimler için her türlü gerçek sayı kullanılabilir ve katsayılar kesir ya da negatif olarak çıkabilir.
