पाँचवाँ मूल क्या होता है?
किसी संख्या x का पाँचवाँ मूल वह मान y होता है जिसे जब अपने आप से पाँच बार गुणा किया जाए तो x प्राप्त होता है। प्रतीकों में, \(y^5 = x\), या इसके समतुल्य \(y = x^{\frac{1}{5}}\)। यह किसी संख्या को पाँचवीं घात तक उठाने की विपरीत क्रिया है। चूँकि 5 एक विषम संख्या है, इसलिए हर वास्तविक संख्या — चाहे वह धनात्मक हो, ऋणात्मक हो या शून्य — का ठीक एक ही वास्तविक पाँचवाँ मूल होता है।
इस कैलकुलेटर का उपयोग कैसे करें
दिए गए खाने में कोई भी संख्या लिखें और कैलकुलेटर उसका पाँचवाँ मूल बता देगा। आप पूर्ण संख्याएँ, दशमलव या ऋणात्मक मान इस्तेमाल कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, 32 का पाँचवाँ मूल 2 है, और −243 का पाँचवाँ मूल −3 है।
सूत्र की व्याख्या
मूल संबंध है $$y = x^{\frac{1}{5}}$$ दरअसल मूल निकालना एक भिन्नात्मक घातांक के अलावा कुछ नहीं है: पाँचवाँ मूल लेना वही है जो किसी संख्या को एक-बटा-पाँच घात तक उठाना। ऋणात्मक मानों के लिए हम सर्वसमिका $$\sqrt[5]{-x} = -\sqrt[5]{x}$$ का उपयोग करते हैं — पहले निरपेक्ष मान का मूल निकालते हैं और फिर उस पर चिह्न दोबारा लगा देते हैं। इससे परिणाम सम्मिश्र (complex) के बजाय वास्तविक संख्या ही रहता है।
हल किया गया उदाहरण
मान लीजिए \(x = 1024\)। हमें ऐसा y चाहिए जिसके लिए \(y^5 = 1024\) हो। चूँकि $$4^5 = 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 1024$$ इसलिए पाँचवाँ मूल \(y = 4\) है। कैलकुलेटर सीधे \(1024^{0.2} = 4\) की गणना कर देता है।
अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न
क्या मैं किसी ऋणात्मक संख्या का पाँचवाँ मूल निकाल सकता हूँ? हाँ। चूँकि 5 विषम है, इसलिए ऋणात्मक संख्याओं का एक वास्तविक ऋणात्मक पाँचवाँ मूल होता है, जैसे \(\sqrt[5]{-32} = -2\)।
1 का पाँचवाँ मूल क्या है? यह 1 है, क्योंकि \(1^5 = 1\)। इसी तरह 0 का पाँचवाँ मूल 0 होता है।
पाँचवाँ मूल वर्गमूल से किस तरह अलग है? वर्गमूल में घातांक \(\frac{1}{2}\) होता है और वास्तविक संख्याओं में यह ऋणात्मक मानों के लिए अपरिभाषित रहता है; जबकि पाँचवें मूल में घातांक \(\frac{1}{5}\) होता है और यह सभी वास्तविक संख्याओं के लिए काम करता है।
