ما هي حاسبة الجذور المركّبة؟
لكل عدد مركّب غير صفري \(z = a + bi\) عدد قدره n من الجذور النونية المختلفة تمامًا، وهذه الحاسبة تجدها جميعًا. تحوِّل الأداة العدد \(z\) إلى الصيغة القطبية (القيمة المطلقة \(r\) والسعة \(\theta\))، ثم تطبّق مبرهنة ديموافر لتعرض كل جذر بالصيغة الديكارتية \(a + bi\) مع زاويته. تتوزّع هذه الجذور بانتظام على محيط دائرة نصف قطرها \(r^{1/n}\) في المستوى المركّب، ويفصل بين كل جذر والذي يليه زاوية مقدارها \(360°/n\).
طريقة الاستخدام
أدخِل الجزء الحقيقي \((a)\) والجزء التخيّلي \((b)\) للعدد المركّب، ثم اختر درجة الجذر \(n\) (مثلًا 2 للجذور التربيعية، و3 للجذور التكعيبية). تُرجع الأداة القيمة المطلقة \(|z|\)، والسعة \(\theta\) بالدرجات، والقيمة المطلقة للجذر \(r^{1/n}\)، إضافةً إلى جدول كامل يضمّ جميع الجذور النونية الـ \(n\). ويظهر الجذر الأساسي \((k = 0)\) مميّزًا في الأعلى.
شرح القانون
اكتب أولًا العدد \(z\) في الصيغة القطبية: \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) و \(\theta = \operatorname{atan2}(b, a)\). عندئذٍ تكون الجذور النونية:
$$w_k = r^{1/n}\left[\cos\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right) + i\sin\!\left(\frac{\theta + 2\pi k}{n}\right)\right],\quad k = 0, 1, \dots, n-1$$
تشترك جميع الجذور في القيمة المطلقة نفسها \(r^{1/n}\)؛ ولا يتغيّر سوى الزاوية، إذ تزداد بمقدار \(2\pi/n\) مع كل خطوة.
مثال محلول
أوجِد الجذرين التربيعيين للعدد \(z = -1\) (حيث \(a = -1\)، \(b = 0\)، \(n = 2\)). هنا \(r = 1\) و \(\theta = 180°\). القيمة المطلقة للجذر هي \(1^{1/2} = 1\). أما الزاويتان فهما \(180°/2 = 90°\) و \((180° + 360°)/2 = 270°\). وبذلك يكون الجذران \(\cos 90° + i\sin 90° =\) i و \(\cos 270° + i\sin 270° =\) −i. وهذان هما بالضبط الجذران التربيعيان للعدد \(-1\).
الأسئلة الشائعة
لماذا يوجد n من الجذور؟ لأن إضافة أي مضاعف للزاوية \(2\pi\) إلى السعة يعطي العدد نفسه، وعند القسمة على \(n\) نحصل على \(n\) من الزوايا المختلفة قبل أن تتكرّر.
ماذا عن z = 0؟ للصفر جذر واحد فقط وهو 0، وتُرجع الحاسبة القيمة \(0 + 0i\).
هل الزاوية بالدرجات أم بالراديان؟ تُعرض النتائج بالدرجات لتسهيل القراءة، بينما تعتمد الحسابات الداخلية على الراديان.
