Qu'est-ce que la formule de Viète ?
En 1593, le mathématicien français François Viète publie le premier produit infini connu exprimant la constante pi sous forme analytique close. Il repose entièrement sur des racines carrées imbriquées d'un demi. Ce calculateur évalue ce produit jusqu'à un nombre de termes que vous choisissez et montre à quelle vitesse la valeur converge vers 3,14159265358979. Il s'agit de mathématiques pures : le résultat est identique partout dans le monde.
Mode d'emploi
Saisissez un nombre d'itérations (le nombre de termes du produit à évaluer, 100 par défaut) et choisissez le nombre de décimales à afficher. Chaque terme supplémentaire revient à doubler le nombre de côtés d'un polygone régulier inscrit, en partant d'un carré pour aller jusqu'à un polygone à \(2^{n+1}\) côtés. Comme cette implémentation utilise la double précision standard IEEE 754, pi est calculé avec environ 15 chiffres significatifs ; le sélecteur de décimales se contente d'arrondir le résultat à ce nombre de chiffres.
La formule expliquée
On part de \(s = 0\) et \(y = 1\). À chaque étape \(k\), on remplace \(s\) par la racine carrée de \((1 + s) / 2\), puis on multiplie cette valeur dans le produit courant \(y\). Chaque facteur vaut \(\cos(\pi / 2^{k+1})\), et le produit de ces cosinus tend vers \(2/\pi\). Pi est donc approché par 2 divisé par le produit courant \(y\). L'estimation s'élève vers pi par valeurs inférieures, gagnant à peu près un chiffre binaire correct par terme.
$$\frac{2}{\pi} = \sqrt{\tfrac12} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}} \cdot \sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12 + \tfrac12\sqrt{\tfrac12}}} \cdots$$
$$s_k=\sqrt{\tfrac{1+s_{k-1}}{2}},\quad y_k=\prod_{i=1}^{k}s_i,\quad \pi=\frac{2}{y_k}$$
Exemple détaillé
\(k=1\) : \(s = \sqrt{0{,}5} = 0{,}70710678\), \(y = 0{,}70710678\), \(\pi \approx 2{,}82842712\). \(k=2\) : \(s = 0{,}92387953\), \(y = 0{,}65328148\), \(\pi \approx 3{,}06146746\). \(k=3\) : \(\pi \approx 3{,}12144515\). \(k=4\) : \(\pi \approx 3{,}13654849\). Dès \(k=20\), la valeur coïncide déjà avec pi à 14 décimales près, et tout nombre d'itérations d'environ 30 ou plus fige 3,14159265358979 en double précision.
FAQ
Pourquoi augmenter le nombre de décimales au-delà de 15 ne change rien ? La virgule flottante en double précision standard ne conserve qu'environ 15 à 16 chiffres significatifs : le calcul sous-jacent ne peut donc pas en restituer davantage, quel que soit le réglage du sélecteur.
Pourquoi un très petit nombre d'itérations donne-t-il une estimation médiocre ? Le produit converge géométriquement ; avec seulement quelques termes, vous approchez encore un polygone à peu de côtés, et la valeur reste donc nettement en dessous de pi.
Le résultat peut-il dépasser pi ? Non. Chaque facteur est un cosinus inférieur à 1, si bien que \(2/y\) s'approche toujours de pi par valeurs inférieures, en sous-estimation.
