¿Qué es la factorización en números primos?
La factorización en primos (también llamada descomposición en factores primos o descomposición prima) consiste en expresar un entero positivo como el producto de los números primos que lo componen. Según el Teorema Fundamental de la Aritmética, todo entero mayor que 1 tiene una única factorización de este tipo, sin tener en cuenta el orden de los factores. Esta calculadora halla esos primos para cualquier número entero desde el 2 hasta algo menos de 10 billones (13 dígitos) y te muestra el resultado de cuatro formas: como producto, en forma exponencial, como lista CSV y, si quieres, como un árbol de factores.
Cómo usarla
Escribe en la casilla un número entero positivo mayor que 1 y pulsa el botón. Marca «crear un árbol de factorización» si deseas ver la descomposición de forma visual. El resultado te muestra los factores primos desarrollados (por ejemplo, 2 x 2 x 5 x 5), la forma exponencial compacta (2^2 x 5^2), una lista separada por comas, la cantidad de primos distintos, el número total de factores primos contados con su multiplicidad y el índice del primo Prime[n] para cualquier factor que se encuentre entre los primeros 5000 números primos.
La fórmula y el algoritmo
La herramienta utiliza el método de divisiones sucesivas (división por tanteo). La factorización en primos se expresa como:
$$\text{Number} = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \cdots \times p_k^{e_k}$$
Primero elimina todos los factores 2; después prueba los divisores impares 3, 5, 7, ... mientras el cuadrado del divisor no supere el valor restante. Cada vez que un divisor da una división exacta, se registra y se divide. Lo que quede al final mayor que 1 es, en sí mismo, un factor primo. Probar solo hasta la raíz cuadrada funciona porque todo número compuesto tiene necesariamente un factor menor o igual que su raíz cuadrada.
Ejemplo resuelto: n = 100
\(100 / 2 = 50\), \(50 / 2 = 25\), es decir, dos veces el 2. Después, 25 no es divisible entre 3, pero sí entre 5: \(25 / 5 = 5\), \(5 / 5 = 1\), lo que nos da dos veces el 5. Los factores son 2, 2, 5, 5. Como producto queda 2 x 2 x 5 x 5 y en forma exponencial 2^2 x 5^2. Hay 2 primos distintos y 4 factores primos en total. Comprobación: \(2 \times 2 \times 5 \times 5 = 100\). Índices de primos: \(2 = \text{Prime}[1]\), \(5 = \text{Prime}[3]\).
Preguntas frecuentes
¿Y el número 1? El 1 no es ni primo ni compuesto y no tiene factores primos, por lo que la calculadora indica este caso especial.
¿Qué pasa si mi número es primo? Un número primo como el 13 tiene solo a sí mismo como factor primo; su forma exponencial es simplemente 13.
¿Hasta qué número puedo factorizar? Hasta casi 10 billones. Los números cercanos a ese límite que tienen un factor primo grande pueden tardar un instante, ya que las divisiones sucesivas comprueban divisores hasta la raíz cuadrada.
