حاسبة التحليل إلى العوامل الأولية

أدخل الحساب

أدخل عددًا صحيحًا موجبًا:

نتائج

Prime Factorization of ١٠:

• 2
• 5

10 = 2 × 5

ما هي حاسبة التحليل إلى العوامل الأولية؟

تقوم حاسبة التحليل إلى العوامل الأولية بتفكيك أي عدد صحيح موجب إلى الأعداد الأولية التي يساوي حاصل ضربها ذلك العدد. والعدد الأولي هو عدد صحيح أكبر من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه (مثل 2 و3 و5 و7 و11 وهكذا). ولكل عدد صحيح أكبر من 1 مجموعة فريدة واحدة من العوامل الأولية، وهي حقيقة تُعرف بـ«المبرهنة الأساسية في الحساب». تكشف لك هذه الأداة عن هذه المجموعة الفريدة وتعرضها بصيغة أسس مرتبة وواضحة.

طريقة الاستخدام

هناك حقل إدخال واحد فقط: أدخل عددًا صحيحًا موجبًا. اكتب أي عدد صحيح أكبر من 1 ثم اضغط للإرسال، فتعرض لك الحاسبة:

• قائمة كاملة بالعوامل الأولية بما في ذلك المكرر منها (مثلًا 2، 2، 3).
• عدد مرات تكرار كل عامل أولي.
• صيغة تحليل أنيقة باستخدام الأسس، مثل \(2^2 \times 3\).

وإذا أدخلت العدد 1 (أو تركت الحقل فارغًا)، فستكون النتيجة فارغة؛ لأن العدد 1 ليس له عوامل أولية.

القانون والطريقة

تعتمد الحاسبة على أسلوب القسمة التجريبية. تبدأ من أصغر عدد أولي وهو 2، ثم تقسم العدد على كل عامل مرشّح i ما دامت القسمة تامة (بلا باقٍ)، وتسجّل i كعامل في كل مرة. ولا تحتاج الأداة إلى اختبار القواسم إلا حتى الجذر التربيعي للعدد الحالي (وفق الشرط i × i ≤ n)، وهو ما يجعلها سريعة. وإذا تبقّى بعد انتهاء الحلقة أي قيمة أكبر من 1، فتلك القيمة المتبقية عددٌ أولي بحد ذاته وتُضاف إلى القائمة. ثم تُجمّع العوامل المكررة معًا لبناء صيغة الأسس.

$$\text{N} = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}$$

اعلان

شجرة العوامل تحلل العدد خطوة بخطوة إلى عوامله الأولية.

مثال محلول

لنفترض أنك أدخلت العدد 360:

• \(360 \div 2 = 180\)، ثم \(\div 2 = 90\)، ثم \(\div 2 = 45\) ← ثلاث مرات للعدد 2.
• \(45 \div 3 = 15\)، ثم \(\div 3 = 5\) ← مرتان للعدد 3.
• العدد 5 أولي ويبقى كما هو ← مرة واحدة للعدد 5.

العوامل الأولية: 2، 2، 2، 3، 3، 5. التكرار: العدد 2 يظهر 3 مرات، والعدد 3 يظهر مرتين، والعدد 5 مرة واحدة. وتكون صيغة التحليل \(2^3 \times 3^2 \times 5\). وللتحقق نضرب: $$8 \times 9 \times 5 = 360. ✓$$

طريقة سلم القسمة تقسم مرارًا على أصغر عدد أولي.

الأسئلة الشائعة

ماذا يحدث إذا أدخلت عددًا أوليًا؟ ستكون النتيجة هي العدد نفسه فقط، لأن العدد الأولي لا يمكن تفكيكه أكثر من ذلك؛ فمثلًا العدد 17 تكون نتيجته «17».

هل يمكنها تحليل الأعداد الكبيرة جدًا؟ نعم، ضمن نطاق العدد الصحيح ذي الـ64 بت. ولأنها تختبر القواسم حتى الجذر التربيعي فقط، فإن القيم الكبيرة تُحلَّل بسرعة، إلا إذا كان العدد حاصل ضرب عددين أوليين ضخمين.

ما فائدة التحليل إلى العوامل الأولية؟ إنه أساسي لإيجاد القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر، ولتبسيط الكسور، كما أنه يُمثّل ركيزة أساسية في علم التشفير الحديث.