Calculadora de norma de un vector (L1, L2 euclídea, L-infinito)

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Resultados

Norma L2 (euclídea)

for 3 component(s)

Norma L1 (Manhattan / suma de valores absolutos)	19
Norma L2 (euclídea)	13
Norma L-infinito (máximo valor absoluto)	12

¿Qué es la norma de un vector?

La norma de un vector mide su «longitud» o magnitud. Esta calculadora obtiene las tres normas más habituales de un vector real: la norma L1 (también llamada norma de Manhattan o del taxista), la norma L2 (la conocida longitud euclídea) y la norma L-infinito (el mayor valor absoluto entre sus componentes). Aparecen constantemente en aprendizaje automático, optimización, estadística, procesamiento de señales y física.

Una flecha de vector 2D desde el origen hasta un punto, con sus componentes horizontal y vertical — Un vector y sus componentes en el espacio 2D.

Cómo usarla

Escribe cada componente del vector en una línea independiente del cuadro de entrada; por ejemplo, un vector de tres elementos formado por 3, -4 y 12. Se admiten números negativos y decimales sin problema, y las líneas en blanco se ignoran. Pulsa «Calcular» y obtendrás las tres normas a la vez, junto con el número de componentes detectados.

Las fórmulas, explicadas

Para un vector x con componentes $x_1$, $x_2$, ..., $x_n$:

$$\|\vec{v}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i| \qquad \|\vec{v}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_i^{2}} \qquad \|\vec{v}\|_\infty = \max_i |x_i|$$

L1 = suma de $|x_i|$ — se suman los valores absolutos.
L2 = raíz cuadrada de la suma de $x_i^{2}$ — la distancia en línea recta desde el origen.
L-infinito = máximo de $|x_i|$ — la mayor magnitud individual.

Una comprobación útil: para cualquier vector siempre se cumplen las desigualdades $\|\vec{v}\|_\infty \le \|\vec{v}\|_2 \le \|\vec{v}\|_1$.

Comparación de las distancias L1, L2 y L-infinito entre el origen y un punto — L1 (Manhattan) sigue el camino de la cuadrícula, L2 (euclidiana) es la línea recta, L-infinito es la mayor componente individual.

Ejemplo resuelto

Tomemos el vector [3, -4, 12]. La norma L1 es $$|3| + |-4| + |12| = 3 + 4 + 12 = 19.$$ La norma L2 es $$\sqrt{3^2 + (-4)^2 + 12^2} = \sqrt{9 + 16 + 144} = \sqrt{169} = 13.$$ La norma L-infinito es $\max(3, 4, 12) = 12$.

Preguntas frecuentes

¿Qué ocurre si la entrada está vacía? Si no se introduce ningún componente, las tres normas se devuelven como 0.

¿Influye el signo de un componente? Las tres normas utilizan valores absolutos o cuadrados, de modo que un componente y su opuesto aportan exactamente lo mismo.

¿Por qué algunos resultados no son números enteros? La norma L2 incluye una raíz cuadrada, así que, salvo que la suma de cuadrados sea un cuadrado perfecto, el resultado es irracional y se muestra redondeado a unos diez dígitos significativos.

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