内積とは？
内積（スカラー積とも呼ばれます）は、2つのベクトルから1つの数値を求める計算です。ベクトル a = (a₁, a₂, a₃)、b = (b₁, b₂, b₃) のとき、対応する成分同士を掛け合わせて足し合わせたものが内積で、\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3\) と表します。計算結果はベクトルではなくスカラー（単なる数値）になります。内積は線形代数をはじめ、物理学、コンピューターグラフィックス、機械学習など、幅広い分野で使われる最も基本的な演算のひとつです。
この計算ツールの使い方
1行目にベクトル a の各成分、2行目にベクトル b の各成分を入力します。2次元ベクトルを扱う場合は、3つ目の成分（a₃ と b₃）を 0 のままにしておけば大丈夫です。「計算」を押すと、内積の値に加えて、各ベクトルの大きさ（長さ）と、2つのベクトルがなす角度（度数）が表示されます。
計算式の解説
a の各成分に b の対応する成分を掛け、それらをすべて足し合わせたものが内積です。
$$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_i a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$2つのベクトルがなす角 θ は、\(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\) という関係から求められます。ここで \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\) です。この式を変形すると、次のようになります。
$$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
計算例
a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) としてみましょう。内積は \((1\times4) + (2\times5) + (3\times6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}\) です。それぞれの大きさは \(\lVert\mathbf{a}\rVert = \sqrt{14} \approx 3.742\)、\(\lVert\mathbf{b}\rVert = \sqrt{77} \approx 8.775\) となります。なす角は \(\arccos(32 / (3.742 \times 8.775)) \approx 12.93°\) です。
よくある質問
内積が 0 になるのはどういう意味ですか？ 2つのベクトルが垂直（直交）であることを意味します。つまり、なす角が 90° ということです。
内積はマイナスになることもありますか？ はい、あります。内積が負の値になる場合、2つのベクトルのなす角は 90° より大きく、おおむね逆向きを指していることを示します。
外積とは何が違うのですか？ 内積の結果はスカラー（数値）ですが、外積の結果は両方のベクトルに垂直なベクトルになります。また、外積は3次元でのみ定義されます。
