Tích vô hướng là gì?
Tích vô hướng (còn gọi là tích chấm hay tích nội) nhận vào hai vectơ và trả về một con số duy nhất. Với hai vectơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃), tích vô hướng bằng tổng các tích của những thành phần tương ứng: $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ Kết quả là một đại lượng vô hướng (một số), không phải một vectơ. Đây là một trong những phép toán nền tảng nhất trong đại số tuyến tính, vật lý, đồ họa máy tính và học máy.
Cách sử dụng công cụ
Nhập các thành phần của vectơ a ở hàng thứ nhất và vectơ b ở hàng thứ hai. Nếu làm việc với vectơ 2D, bạn chỉ cần để thành phần thứ ba (\(a_3\) và \(b_3\)) bằng 0. Nhấn nút tính toán, bạn sẽ nhận được tích vô hướng, độ lớn (độ dài) của từng vectơ, cùng góc giữa hai vectơ tính theo độ.
Giải thích công thức
Mỗi thành phần của a được nhân với thành phần tương ứng của b, sau đó cộng tất cả các tích lại. Góc \(\theta\) giữa hai vectơ được suy ra từ hệ thức \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\), trong đó \(\lVert\mathbf{a}\rVert = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). Biến đổi lại ta được $$\theta = \arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$
Ví dụ minh họa
Giả sử \(\mathbf{a} = (1, 2, 3)\) và \(\mathbf{b} = (4, 5, 6)\). Tích vô hướng là $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = \mathbf{32}$$ Độ lớn lần lượt là \(\lVert\mathbf{a}\rVert = \sqrt{14} \approx 3{,}742\) và \(\lVert\mathbf{b}\rVert = \sqrt{77} \approx 8{,}775\). Góc giữa hai vectơ là \(\arccos(32 / (3{,}742 \times 8{,}775)) \approx 12{,}93°\).
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng bằng 0 có ý nghĩa gì? Điều đó có nghĩa là hai vectơ vuông góc (trực giao) với nhau — góc giữa chúng đúng bằng 90°.
Tích vô hướng có thể âm không? Có. Tích vô hướng âm cho biết góc giữa hai vectơ lớn hơn 90° (chúng hướng về hai phía gần như ngược nhau).
Tích vô hướng khác tích có hướng như thế nào? Tích vô hướng trả về một số (đại lượng vô hướng), trong khi tích có hướng trả về một vectơ vuông góc với cả hai vectơ ban đầu và chỉ tồn tại trong không gian 3D.
