Skaler Çarpım Nedir?
Skaler çarpım (iç çarpım olarak da bilinir) iki vektörü alıp tek bir sayı üretir. a = (a₁, a₂, a₃) ve b = (b₁, b₂, b₃) vektörleri için bu işlem, karşılıklı bileşenlerin çarpımlarının toplamıdır: $$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3$$ Sonuç bir vektör değil, bir skalerdir. Lineer cebir, fizik, bilgisayar grafikleri ve makine öğreniminin en temel işlemlerinden biridir.
Bu Hesaplama Aracı Nasıl Kullanılır?
İlk satıra a vektörünün, ikinci satıra ise b vektörünün bileşenlerini girin. 2B vektörler için üçüncü bileşenleri (\(a_3\) ve \(b_3\)) 0 olarak bırakmanız yeterli. Hesapla düğmesine tıkladığınızda skaler çarpımı, her vektörün büyüklüğünü (uzunluğunu) ve aralarındaki açıyı derece cinsinden görürsünüz.
Formülün Açıklaması
a vektörünün her bileşeni, b vektörünün karşılık gelen bileşeniyle çarpılır ve elde edilen çarpımlar toplanır. İki vektör arasındaki \(\theta\) açısı ise \(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert\cos\theta\) bağıntısından gelir; burada \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\). Bu eşitlik yeniden düzenlendiğinde $$\theta=\arccos\left(\dfrac{\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}}{\lVert\mathbf{a}\rVert\,\lVert\mathbf{b}\rVert}\right)$$ elde edilir.
Çözümlü Örnek
\(\mathbf{a}=(1, 2, 3)\) ve \(\mathbf{b}=(4, 5, 6)\) olsun. Skaler çarpım: $$(1\times 4) + (2\times 5) + (3\times 6) = 4 + 10 + 18 = 32$$ Büyüklükler \(\lVert\mathbf{a}\rVert=\sqrt{14}\approx 3{,}742\) ve \(\lVert\mathbf{b}\rVert=\sqrt{77}\approx 8{,}775\) olur. Açı ise \(\arccos(32 / (3{,}742 \times 8{,}775)) \approx 12{,}93°\)'dir.
Sıkça Sorulan Sorular
Skaler çarpımın sıfır olması ne anlama gelir? İki vektörün birbirine dik (ortogonal) olduğunu, yani aralarındaki açının 90° olduğunu gösterir.
Skaler çarpım negatif olabilir mi? Evet. Negatif bir skaler çarpım, vektörler arasındaki açının 90°'den büyük olduğu (genel olarak zıt yönlere baktıkları) anlamına gelir.
Vektörel çarpımdan farkı nedir? Skaler çarpım bir skaler verir; vektörel çarpım ise her iki vektöre de dik yeni bir vektör üretir ve yalnızca 3 boyutta tanımlıdır.
