Vektörel çarpım nedir?
Üç boyutlu iki vektörün, a ve b, vektörel çarpımı (a × b olarak yazılır), her iki vektöre de dik olan yeni bir vektördür. Yönü sağ el kuralına göre belirlenir, büyüklüğü ise bu iki vektörün oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir. Bu hesaplama aracı, sonuç vektörünün tamamını, büyüklüğünü ve vektörler arasındaki açıyı verir.
Bu hesaplama aracı nasıl kullanılır?
a vektörünün x, y ve z bileşenlerini (\(a_1, a_2, a_3\)) ve b vektörünün bileşenlerini (\(b_1, b_2, b_3\)) girin. Hesapla düğmesine basarak vektörel çarpımın bileşenlerini, \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\) büyüklüğünü ve iki vektör arasındaki \(\theta\) açısını derece cinsinden görebilirsiniz.
Formülün açıklaması
Bileşenler, determinant açılımı ile hesaplanır:
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$Büyüklük ise $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ şeklindedir ve bu değer aynı zamanda \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\) ifadesine eşittir. Açıyı $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$ bağıntısıyla buluruz.
Çözümlü örnek
\(\vec{a} = (3, -3, 1)\) ve \(\vec{b} = (4, 9, 2)\) olsun. Bu durumda $$c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15,\quad c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2,\quad c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39$$ olur. Yani \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)\) ve büyüklüğü $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41{,}83$$tür.
Sıkça sorulan sorular
Vektörel çarpım değişme özelliğine sahip midir? Hayır. \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\); sırayı değiştirmek yönü ters çevirir.
Sonuç sıfır vektörü çıkarsa ne anlama gelir? Bu durumda iki vektör paraleldir (ya da biri sıfır vektörüdür) ve aralarındaki açı 0° veya 180°'dir.
Bu işlem 2B'de çalışır mı? Gerçek vektörel çarpım yalnızca 3B'de tanımlıdır. 2B vektörler için z bileşenlerini 0 olarak girin; bu durumda yalnızca \(c_z\) sıfırdan farklı olacaktır.
