¿Qué es el producto vectorial?
El producto vectorial de dos vectores tridimensionales a y b, que se escribe a × b, es un nuevo vector perpendicular a los dos vectores de entrada. Su dirección se determina con la regla de la mano derecha, y su módulo coincide con el área del paralelogramo que forman ambos vectores. Esta calculadora te devuelve el vector resultante completo, su módulo y el ángulo entre los vectores introducidos.
Cómo usar esta calculadora
Introduce las componentes x, y, z del vector a (\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\)) y del vector b (\(b_1\), \(b_2\), \(b_3\)). Pulsa calcular para ver las componentes del producto vectorial, el módulo \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\) y el ángulo \(\theta\) entre ambos vectores expresado en grados.
La fórmula paso a paso
Las componentes se obtienen desarrollando el determinante:
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$El módulo es $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$ que además equivale a \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\). De ahí despejamos el ángulo: $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$
Ejemplo resuelto
Tomemos \(\vec{a} = (3,\,-3,\,1)\) y \(\vec{b} = (4,\,9,\,2)\). Entonces $$c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15,$$ $$c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2,$$ $$c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39.$$ Por tanto \(\vec{a}\times\vec{b} = (-15,\,-2,\,39)\), con módulo $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41{,}83.$$
Preguntas frecuentes
¿Es conmutativo el producto vectorial? No. \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\); al cambiar el orden se invierte la dirección.
¿Y si el resultado es el vector nulo? Significa que los dos vectores son paralelos (o uno de ellos es cero), por lo que el ángulo entre ellos es 0° o 180°.
¿Funciona en 2D? El producto vectorial propiamente dicho se define en 3D. Para vectores en 2D, pon a 0 las componentes z y solo \(c_z\) será distinta de cero.
