외적이란 무엇인가요?
두 3차원 벡터 a와 b의 외적은 a × b로 표기하며, 두 벡터 모두에 수직인 새로운 벡터를 만들어냅니다. 그 방향은 오른손 법칙을 따르고, 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 이 계산기는 결과 벡터 전체와 그 크기, 그리고 두 벡터 사이의 각도까지 함께 알려줍니다.
계산기 사용법
벡터 a의 x, y, z 성분(\(a_1\), \(a_2\), \(a_3\))과 벡터 b의 성분(\(b_1\), \(b_2\), \(b_3\))을 입력하세요. 계산 버튼을 누르면 외적의 각 성분과 크기 \(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\), 그리고 두 벡터 사이의 각도 \(\theta\)가 도(°) 단위로 표시됩니다.
공식 한눈에 보기
각 성분은 행렬식 전개를 통해 다음과 같이 계산됩니다.
$$\vec{a}\times\vec{b} = \left( a_2\,b_3 - a_3\,b_2,\;\; a_3\,b_1 - a_1\,b_3,\;\; a_1\,b_2 - a_2\,b_1 \right)$$
크기는 $$\left|\vec{a}\times\vec{b}\right| = \sqrt{c_x^{2} + c_y^{2} + c_z^{2}}$$이며, 이는 \(\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\theta\)와도 같습니다. 따라서 각도는 $$\theta = \arcsin\!\left( \frac{\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|}{\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|} \right)$$ 로 구할 수 있습니다.
예제로 풀어보기
\(\vec{a} = (3, -3, 1)\), \(\vec{b} = (4, 9, 2)\)라고 해봅시다. 그러면 \(c_x = (-3)(2) - (1)(9) = -15\), \(c_y = (1)(4) - (3)(2) = -2\), \(c_z = (3)(9) - (-3)(4) = 39\) 입니다. 따라서 $$\vec{a}\times\vec{b} = (-15, -2, 39)$$이고, 크기는 $$\sqrt{225 + 4 + 1521} = \sqrt{1750} \approx 41.83$$ 이 됩니다.
자주 묻는 질문
외적은 교환법칙이 성립하나요? 아니요. \(\vec{a}\times\vec{b} = -(\vec{b}\times\vec{a})\)로, 순서를 바꾸면 방향이 반대가 됩니다.
결과가 영벡터로 나오면 어떤 의미인가요? 두 벡터가 서로 평행하거나(또는 한쪽이 영벡터인 경우) 사이각이 0° 또는 180°라는 뜻입니다.
2차원에서도 사용할 수 있나요? 본래 외적은 3차원에서 정의됩니다. 2D 벡터의 경우 z 성분을 0으로 두면 \(c_z\)만 0이 아닌 값으로 나옵니다.
