分數指數計算機

輸入計算

底數（x）

指數分子（a）

指數分母（b）

結果

x^a/b equals

4

分數次方的數值

小數指數（a/b）	0.666667

什麼是分數指數？

分數指數就是把次方寫成分數的形式，例如 \(x^{a/b}\)。分母 b 代表要開幾次方根，分子 a 則代表要乘上幾次方。換句話說，\(x^{a/b}\) 等同於先對 x 開 b 次方根，再取 a 次方。舉例來說，\(8^{2/3}\) 的意思就是「先求 8 的立方根，再把結果平方」。

分數指數 a/b 表示底數 a 次方的 b 次方根。

如何使用這個計算機

只要輸入三個數值：底數（x）、指數的分子（a），以及指數的分母（b）。計算機會把分數換算成小數指數（a ÷ b），再算出 x 的該次方。同時也會顯示換算後的小數指數，讓你清楚看到實際套用的是幾次方。

公式解析

關鍵的恆等式如下：

$$x^{\frac{a}{b}} = \left(x^{a}\right)^{\frac{1}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$$

取 1/b 次方就等於開 b 次方根。由於次方與開根號的運算順序可以對調，你也可以先開根號再取次方：\(\left(\sqrt[b]{x}\right)^{a}\)。結果完全相同，但先開根號通常能讓數字保持較小、更容易閱讀。

先開方或先乘方都可以——兩種方式得到的結果相同。

實際範例

來求 \(8^{2/3}\)。分母是 3，所以先求 8 的立方根，得到 2。分子是 2，所以再把結果平方：$$2^{2} = 4$$因此 \(8^{2/3} = 4\)。你可以在計算機中輸入底數 = 8、分子 = 2、分母 = 3 來驗證這個結果。

常見問題

底數是負數會怎樣？負數的分數次方可能會產生複數（非實數）的結果，尤其當分母為偶數時更是如此。本計算機只會回傳實數結果，因此負底數搭配偶數次方根時，可能不會如預期般運作。

如果分母是 0 呢？除以零在數學上沒有定義，所以計算機會加以防範並回傳 0，請改用非零的分母。

\(x^{1/2}\) 跟平方根是一樣的嗎？是的。分母為 2 正好就是平方根，分母為 3 就是立方根，以此類推。