ما هو محدد المصفوفة؟
المحدد هو رقم واحد يُحسب من عناصر المصفوفة المربعة، ويكشف لك الكثير عن خصائصها. فهو يخبرك بما إذا كانت المصفوفة قابلة للعكس (المحدد غير الصفري يعني أنها كذلك)، وكيف يقوم التحويل الخطي بتكبير أو تصغير المساحة أو الحجم، وما إذا كان لنظام المعادلات حل وحيد. تتعامل هذه الحاسبة مع الحالتين الأكثر شيوعًا في مقررات الجبر الخطي: مصفوفات 2×2 و3×3.
كيفية استخدام الحاسبة
اختر حجم المصفوفة (2×2 أو 3×3)، ثم أدخل كل عنصر في خانته المعنونة — حيث a11 هو العنصر في أعلى اليسار، وa33 هو العنصر في أسفل اليمين. بالنسبة لمصفوفة 2×2 تُقرأ فقط الكتلة العلوية اليسرى (a11 وa12 وa21 وa22)، أما بقية الخانات فيتم تجاهلها. اضغط على زر الحساب، فيظهر المحدد على الفور إلى جانب المحددات الصغرى (minors) من حجم 2×2 المستخدمة في مفكوك العناصر المرافقة لمصفوفة 3×3.
شرح المعادلة
بالنسبة لمصفوفة 2×2 تحتوي على العنصرين a وb في الصف العلوي، والعنصرين c وd في الصف السفلي، فإن المحدد ببساطة هو \(ad - bc\). أما بالنسبة لمصفوفة 3×3 فنستخدم مفكوك العناصر المرافقة على طول الصف الأول: يُضرب كل عنصر من عناصر الصف الأول في محدد المصفوفة 2×2 المتبقية بعد حذف صف ذلك العنصر وعموده (وهو ما يُسمى المحدد الصغير أو minor)، مع إشارات متناوبة (+، −، +).
$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
مثال محلول
لنأخذ المصفوفة ذات الصفوف (1، 2، 3) و(0، 1، 4) و(5، 6، 0). تكون المحددات الصغرى كالتالي:
$$M_{11} = 1\cdot0 - 4\cdot6 = -24$$وM12 = 0·0 − 4·5 = −20، وM13 = 0·6 − 1·5 = −5. ومن ثم يكون
$$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}$$الأسئلة الشائعة
ماذا يعني أن يكون المحدد صفرًا؟ تكون المصفوفة شاذة (singular) — أي ليس لها معكوس، ولا يملك نظام المعادلات المرتبط بها حلًّا وحيدًا.
هل يمكن أن يكون المحدد سالبًا؟ نعم. القيمة السالبة للمحدد تدل على أن التحويل الخطي يعكس الاتجاه (الاتجاه الهندسي)، ومع ذلك تظل قيمته المطلقة تمثل معامل تكبير المساحة أو الحجم.
هل تتعامل الحاسبة مع مصفوفات أكبر؟ تغطي هذه الأداة مصفوفات 2×2 و3×3، وهي الأحجام الأكثر طلبًا. أما المحددات الأكبر فتُحسب عادةً عن طريق الاختزال الصفّي (row reduction).
