Qu'est-ce que le déterminant d'une matrice ?
Le déterminant est un nombre unique calculé à partir des coefficients d'une matrice carrée. Il indique si la matrice est inversible (un déterminant non nul signifie qu'elle l'est), comment une transformation linéaire dilate une aire ou un volume, et si un système d'équations admet une solution unique. Ce calculateur traite les deux cas les plus courants des cours d'algèbre linéaire : les matrices 2×2 et 3×3.
Comment utiliser ce calculateur
Sélectionnez la taille de la matrice (2×2 ou 3×3). Saisissez chaque coefficient dans la case correspondante : \(a_{11}\) désigne l'élément en haut à gauche, \(a_{33}\) celui en bas à droite. Pour une matrice 2×2, seul le bloc en haut à gauche (\(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{21}\), \(a_{22}\)) est pris en compte ; les autres champs sont ignorés. Cliquez sur « Calculer » et le déterminant s'affiche immédiatement, accompagné des mineurs 2×2 intermédiaires utilisés dans le développement en cofacteurs de la matrice 3×3.
La formule expliquée
Pour une matrice 2×2 dont la première ligne contient a, b et la seconde c, d, le déterminant vaut tout simplement \(ad - bc\).
$$\det A = ad - bc$$Pour une matrice 3×3, on procède par développement en cofacteurs selon la première ligne : chaque coefficient de la première ligne est multiplié par le déterminant de la matrice 2×2 obtenue en supprimant la ligne et la colonne de ce coefficient (son mineur), avec une alternance de signes (+, −, +).
$$\det A = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}$$$$\det A = a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})$$
Exemple résolu
Considérons la matrice dont les lignes sont (1, 2, 3), (0, 1, 4) et (5, 6, 0). Les mineurs sont
$$M_{11} = 1\cdot 0 - 4\cdot 6 = -24$$$$M_{12} = 0\cdot 0 - 4\cdot 5 = -20$$$$M_{13} = 0\cdot 6 - 1\cdot 5 = -5$$On obtient alors
$$\det A = 1\cdot(-24) - 2\cdot(-20) + 3\cdot(-5) = -24 + 40 - 15 = \mathbf{1}$$Questions fréquentes
Que signifie un déterminant nul ? La matrice est singulière : elle n'admet pas d'inverse, et le système d'équations associé n'a pas de solution unique.
Le déterminant peut-il être négatif ? Oui. Un déterminant négatif indique que la transformation linéaire inverse l'orientation ; sa valeur absolue représente toujours le facteur de dilatation de l'aire ou du volume.
Le calculateur gère-t-il les matrices plus grandes ? Cet outil couvre les matrices 2×2 et 3×3, qui sont les tailles les plus fréquemment utilisées. Les déterminants de matrices plus grandes se calculent généralement par réduction de lignes (méthode du pivot de Gauss).
