यह कैलकुलेटर क्या करता है

यह टूल दो द्वि-आयामी (2D) सदिशों को, जो उनके x और y घटकों के रूप में दिए गए होते हैं, जोड़ता या घटाता है और परिणामी सदिश लौटाता है। यह परिणामी घटक (Rx, Ry), परिमाण R, और दिशा θ बताता है — जहाँ θ धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त (counterclockwise) दिशा में डिग्री में मापी जाती है। यह एक सार्वभौमिक गणित/भौतिकी टूल है और हर जगह काम करता है — इनपुट के सुसंगत होने के अलावा कोई देश-विशेष नियम या इकाई-प्रणाली की कोई शर्त नहीं है।

इसका उपयोग कैसे करें

सदिश A और सदिश B के x तथा y घटक दर्ज करें, जोड़ना है या घटाना यह चुनें, और परिणामी परिमाण व कोण पढ़ लें। यदि आपके सदिश परिमाण–कोण (magnitude–angle) रूप में दिए गए हैं, तो पहले उन्हें $x = m\cdot\cos(\theta)$ और $y = m\cdot\sin(\theta)$ से घटकों में बदलें, फिर वे मान यहाँ दर्ज करें।

सूत्र की व्याख्या

सदिशों का योग घटक-दर-घटक होता है:

$$R_x = A_x \pm B_x, \quad R_y = A_y \pm B_y$$

(घटाने के लिए ऋण चिह्न का प्रयोग करें)। परिमाण पाइथागोरस प्रमेय से मिलता है, और दिशा के लिए दो-तर्क वाला आर्कटैन्जेंट प्रयोग होता है, जो साधारण arctan के विपरीत कोण को सही चतुर्थांश (quadrant) में रखता है और −180° से +180° के बीच मान देता है।

$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(R_y, R_x)$$

परिणामी सदिश को क्षैतिज Rx और ऊर्ध्वाधर Ry घटकों में कोण थीटा सहित विभाजित किया गया — परिणामी के घटक Rx और Ry परिमाण $\sqrt{R_x^2+R_y^2}$ तथा दिशा $\theta$ देते हैं।

दो सदिश A और B सिरे-से-पूँछ जोड़े गए, मूल बिंदु से परिणामी R — सिरे-से-पूँछ सदिश योग: परिणामी R, A के आरंभ से B के सिरे तक जाता है।

हल किया गया उदाहरण

A = (3, 4) और B = (1, 2) को जोड़ें। तब $R_x = 3 + 1 = 4$ और $R_y = 4 + 2 = 6$। परिमाण

$$\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} \approx 7.2111$$

इकाई होगा। दिशा $\operatorname{atan2}(6, 4) \approx$ धनात्मक x-अक्ष से 56.31° ऊपर है।

परिभाषाएँ और शब्दावली

परिणामी सदिश: एक एकल सदिश $\vec{R}$ जो दो सदिशों के योग (या अंतर) के बराबर है। जोड़ के लिए $\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}$; घटाव के लिए $\vec{R} = \vec{A} - \vec{B}$। यह संयुक्त सदिशों का शुद्ध प्रभाव दर्शाता है।
घटक (x / y): एक सदिश का x- और y-अक्षों पर प्रक्षेप। $R_x$ क्षैतिज भाग है और $R_y$ ऊर्ध्वाधर भाग है। घटक स्वतंत्र रूप से जोड़े जाते हैं: $R_x = A_x \pm B_x$, $R_y = A_y \pm B_y$। घटक मूल सदिशों के समान मनमाना लेकिन सुसंगत इकाई रखते हैं (m, N, m/s, आदि)।
परिमाण: सदिश की लंबाई, $|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}$। हमेशा गैर-नकारात्मक और सदिशों की साझा इकाई में व्यक्त किया जाता है।
दिशा कोण $\theta$: वह कोण जो सदिश सकारात्मक x-अक्ष के साथ बनाता है, जिसे वामावर्त मापा जाता है। आमतौर पर डिग्री या रेडियन में रिपोर्ट किया जाता है; इकाई एक परिपाटी है, भौतिक मात्रा नहीं।
atan2 बनाम atan: $\operatorname{atan}(R_y/R_x)$ केवल $(-90^\circ, 90^\circ)$ में मान लौटाता है और जब दोनों घटक नकारात्मक होते हैं या जब $R_x<0$ होता है तो संकेत की जानकारी खो देता है। $\operatorname{atan2}(R_y, R_x)$ दोनों घटकों के संकेतों का उपयोग करके पूर्ण रेंज $(-180^\circ, 180^\circ]$ में सही कोण लौटाता है, सदिश को उसके उचित चतुर्थांश में रखता है।
सिरे-से-पूंछ जोड़: एक आलेखीय विधि: $\vec{A}$ खींचें, फिर $\vec{B}$ को $\vec{A}$ की नोक से शुरू करते हुए खींचें। परिणामी $\vec{A}$ की पूंछ से $\vec{B}$ की नोक तक चलता है। यह घटकों को जोड़ने के बराबर ज्यामितीय है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

ऋणात्मक कोण का क्या अर्थ है? ऋणात्मक $\theta$ का मतलब है कि परिणामी सदिश धनात्मक x-अक्ष के नीचे (दक्षिणावर्त/clockwise दिशा में) इंगित कर रहा है। यदि आप 0–360° परास में कोण चाहते हैं तो उसमें 360° जोड़ दें।

क्या मैं सदिश घटा सकता हूँ? हाँ — A − B की गणना के लिए "घटाएं" विकल्प चुनें, जो A में B के विपरीत सदिश को जोड़ने के बराबर है।

यदि परिणामी शून्य हो तो? यदि दोनों घटक 0 हों तो परिमाण 0 होता है और दिशा अपरिभाषित रहती है; कैलकुलेटर परंपरानुसार 0° दर्शाएगा।

परिणामी x-घटक (Rx)	4
परिणामी y-घटक (Ry)	6
दिशा θ (डिग्री)	56.31°

सदिश जोड़ने और घटाने का कैलकुलेटर

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सूत्र (फॉर्मूला)

परिणाम