À quoi sert ce calculateur
Cet outil additionne ou soustrait deux vecteurs à deux dimensions définis par leurs composantes x et y, puis renvoie le vecteur résultant. Il affiche les composantes du résultant (\(R_x\), \(R_y\)), sa norme \(R\) et sa direction \(\theta\), mesurée en degrés dans le sens antihoraire à partir de l'axe des x positifs. C'est un outil universel de mathématiques et de physique, valable partout : aucune réglementation ni système d'unités particulier n'est présupposé, hormis la cohérence des données saisies.
Comment l'utiliser
Saisissez les composantes x et y du vecteur A et du vecteur B, choisissez l'addition ou la soustraction, puis lisez la norme et l'angle du résultat. Si vos vecteurs sont donnés sous forme norme–angle, convertissez-les d'abord en composantes à l'aide des relations \(x = m\cdot\cos(\theta)\) et \(y = m\cdot\sin(\theta)\), puis reportez ces valeurs ici.
La formule expliquée
L'addition de vecteurs s'effectue composante par composante :
$$R_x = A_x \pm B_x, \quad R_y = A_y \pm B_y$$(utilisez le signe moins pour la soustraction). La norme découle du théorème de Pythagore, et la direction repose sur l'arctangente à deux arguments, qui place correctement l'angle dans le bon quadrant — contrairement à un simple arctan — en renvoyant une valeur comprise entre −180° et +180° :
$$R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}, \quad \theta = \operatorname{atan2}(R_y, R_x)$$
Exemple concret
Additionnons \(A = (3, 4)\) et \(B = (1, 2)\). On obtient alors :
$$R_x = 3 + 1 = 4, \quad R_y = 4 + 2 = 6$$La norme vaut \(\sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{52} \approx 7{,}2111\) unités. La direction est \(\operatorname{atan2}(6, 4) \approx 56{,}31^\circ\) au-dessus de l'axe des x positifs.
Définitions & Glossaire
- Vecteur résultant
- Le vecteur unique \(\vec{R}\) égal à la somme (ou à la différence) de deux vecteurs. Pour l'addition \(\vec{R} = \vec{A} + \vec{B}\) ; pour la soustraction \(\vec{R} = \vec{A} - \vec{B}\). Il représente l'effet net des vecteurs combinés.
- Composante (x / y)
- La projection d'un vecteur sur les axes x et y. \(R_x\) est la partie horizontale et \(R_y\) la partie verticale. Les composantes s'ajoutent indépendamment : \(R_x = A_x \pm B_x\), \(R_y = A_y \pm B_y\). Les composantes ont la même unité arbitraire mais cohérente que les vecteurs d'origine (m, N, m/s, etc.).
- Magnitude
- La longueur du vecteur, \(|\vec{R}| = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}\). Toujours non-négative et exprimée dans l'unité commune des vecteurs.
- Angle de direction \(\theta\)
- L'angle que le vecteur fait avec l'axe x positif, mesuré dans le sens trigonométrique. Généralement exprimé en degrés ou en radians ; l'unité est une convention, non une grandeur physique.
- atan2 vs atan
- \(\operatorname{atan}(R_y/R_x)\) retourne seulement des valeurs dans \((-90^\circ, 90^\circ)\) et perd l'information de signe lorsque les deux composantes sont négatives ou lorsque \(R_x<0\). \(\operatorname{atan2}(R_y, R_x)\) utilise les signes des deux composantes pour retourner l'angle correct dans la plage complète \((-180^\circ, 180^\circ]\), en plaçant le vecteur dans son quadrant approprié.
- Addition pointe-à-queue
- Une méthode graphique : dessinez \(\vec{A}\), puis dessinez \(\vec{B}\) en commençant au sommet de \(\vec{A}\). Le vecteur résultant va de la queue de \(\vec{A}\) au sommet de \(\vec{B}\). C'est l'équivalent géométrique de l'addition des composantes.
FAQ
Que signifie un angle négatif ? Un \(\theta\) négatif indique que le résultant pointe sous l'axe des x positifs (dans le sens horaire). Ajoutez 360° si vous préférez exprimer les angles dans l'intervalle 0–360°.
Puis-je soustraire des vecteurs ? Oui : sélectionnez l'option Soustraire pour calculer \(A - B\), ce qui revient à additionner A et l'opposé de B.
Et si le résultant est nul ? Si les deux composantes valent 0, la norme est 0 et la direction n'est pas définie ; par convention, le calculateur affiche alors 0°.
