À quoi sert cette calculatrice
Cet outil additionne ou soustrait deux fractions et vous donne le résultat sous forme de fraction entièrement simplifiée (réduite), accompagnée de son équivalent décimal. Saisissez le numérateur et le dénominateur de chaque fraction, choisissez l'addition ou la soustraction, et la calculatrice se charge de trouver le dénominateur commun et de réduire le résultat à votre place.
Comment l'utiliser
Indiquez le numérateur et le dénominateur de la première fraction, sélectionnez l'opération (addition ou soustraction), puis saisissez la seconde fraction. La calculatrice calcule une seule fraction combinée et la simplifie. Les numérateurs négatifs et les fractions impropres (numérateur supérieur au dénominateur) sont parfaitement pris en charge.
La formule expliquée
Pour combiner deux fractions, on les ramène à un dénominateur commun. Le dénominateur commun le plus simple est le produit des deux dénominateurs, \(b \cdot d\). Ainsi, \(a/b\) devient \((a \cdot d)/(b \cdot d)\) et \(c/d\) devient \((c \cdot b)/(b \cdot d)\). Les deux fractions partagent désormais le même dénominateur, il suffit alors d'additionner ou de soustraire les numérateurs :
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$Enfin, on réduit le résultat en divisant le numérateur et le dénominateur par leur plus grand commun diviseur (PGCD), déterminé grâce à l'algorithme d'Euclide.
$$\frac{n}{m} = \frac{n / \gcd(n,m)}{m / \gcd(n,m)}$$
Exemple concret
Additionnons \(1/2 + 1/3\). En appliquant la formule :
$$\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$Le PGCD de 5 et 6 est égal à 1, donc \(5/6\) est déjà sous sa forme irréductible. En décimal, cela donne environ \(0{,}8333\).
Exemple de soustraction :
$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8}$$qui se réduit à \(1/4\) après division par le PGCD, égal à 2.
Définitions & Glossaire
Comprendre le vocabulaire des fractions rend l'addition et la soustraction de celles-ci beaucoup plus claires. Les termes ci-dessous décrivent chaque partie d'une fraction et les étapes que cette calculatrice utilise pour produire une réponse réduite.
- Numérateur — le nombre du haut d'une fraction. Il compte combien de parties égales vous avez. Dans \(\frac{3}{4}\), le numérateur est 3.
- Dénominateur — le nombre du bas d'une fraction. Il indique combien de parties égales composent un tout. Dans \(\frac{3}{4}\), le dénominateur est 4. Un dénominateur ne peut jamais être 0.
- Fraction propre — une fraction dont le numérateur est plus petit que son dénominateur, donc sa valeur est inférieure à 1 (par exemple \(\frac{2}{5}\)).
- Fraction impropre — une fraction dont le numérateur est égal ou supérieur à son dénominateur, donc sa valeur est 1 ou plus (par exemple \(\frac{7}{4}\)). Les sommes de deux fractions sont souvent impropres.
- Dénominateur commun — un seul dénominateur partagé par deux fractions ou plus. Vous ne pouvez additionner ou soustraire des fractions qu'une fois qu'elles en partagent un. Cet outil utilise le produit des deux dénominateurs, \(b\cdot d\), comme dénominateur commun garanti ; le résultat est ensuite réduit.
- Termes les plus bas (forme la plus simple) — une fraction dans laquelle le numérateur et le dénominateur ne partagent aucun facteur commun autre que 1, tel que \(\frac{2}{4}\) réduit à \(\frac{1}{2}\).
- PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) — le plus grand nombre entier qui divise exactement à la fois le numérateur et le dénominateur. Diviser les deux par leur PGCD réduit une fraction à ses termes les plus bas. Le PGCD est aussi appelé GCF ou HCF.
- Algorithme euclidien — une méthode efficace pour trouver le PGCD de deux nombres par reste répété. Remplacez le plus grand nombre par le reste de la division des deux ; répétez jusqu'à ce que le reste soit 0. Le dernier reste non nul est le PGCD. Par exemple, \(\gcd(8,12)\) : \(12 \bmod 8 = 4\), puis \(8 \bmod 4 = 0\), donc le PGCD est 4. Cet outil exécute cet algorithme pour simplifier chaque résultat.
Tableau de référence pour la conversion fraction-décimal
La valeur décimale d'une fraction est simplement son numérateur divisé par son dénominateur. Le tableau ci-dessous répertorie les fractions les plus fréquemment utilisées avec leurs équivalents décimaux. Une barre au-dessus d'un chiffre (ou la note « répétition ») indique que la décimale se répète indéfiniment.
| Fraction | Décimal | Remarques |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | 0.5 | Exact |
| \(\frac{1}{3}\) | 0.3333… | Répétition (0.3̅) |
| \(\frac{2}{3}\) | 0.6667… | Répétition (0.6̅) |
| \(\frac{1}{4}\) | 0.25 | Exact |
| \(\frac{3}{4}\) | 0.75 | Exact |
| \(\frac{1}{5}\) | 0.2 | Exact |
| \(\frac{2}{5}\) | 0.4 | Exact |
| \(\frac{3}{5}\) | 0.6 | Exact |
| \(\frac{4}{5}\) | 0.8 | Exact |
| \(\frac{1}{6}\) | 0.1667… | Répétition (0.16̅) |
| \(\frac{5}{6}\) | 0.8333… | Répétition (0.83̅) |
| \(\frac{1}{8}\) | 0.125 | Exact |
| \(\frac{3}{8}\) | 0.375 | Exact |
| \(\frac{5}{8}\) | 0.625 | Exact |
| \(\frac{7}{8}\) | 0.875 | Exact |
| \(\frac{1}{9}\) | 0.1111… | Répétition (0.1̅) |
| \(\frac{1}{10}\) | 0.1 | Exact |
| \(\frac{1}{16}\) | 0.0625 | Exact |
Comme vérification élaborée, l'addition de \(\frac{1}{4}\) et \(\frac{1}{8}\) : le dénominateur commun est 8, ce qui donne \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\) 0.375, ce qui correspond au tableau.
Questions fréquentes
Les dénominateurs doivent-ils être identiques ? Non. La calculatrice trouve automatiquement un dénominateur commun, vous pouvez donc combiner directement des fractions comme \(2/5\) et \(7/8\).
Le résultat est-il simplifié ? Oui. Chaque résultat est réduit à sa forme irréductible à l'aide du plus grand commun diviseur.
Puis-je utiliser des nombres négatifs ? Oui. Saisissez un numérateur (ou un dénominateur) négatif : la calculatrice conserve le signe et affiche un dénominateur positif dans le résultat simplifié.
