Что умеет этот калькулятор
Этот инструмент складывает или вычитает две дроби и выдаёт результат в виде полностью сокращённой (несократимой) дроби, а также её десятичный эквивалент. Введите числитель и знаменатель каждой дроби, выберите сложение или вычитание — калькулятор сам приведёт дроби к общему знаменателю и сократит результат.
Как пользоваться
Введите числитель и знаменатель первой дроби, выберите действие (сложение или вычитание), затем заполните вторую дробь. Калькулятор вычислит одну итоговую дробь и сократит её. Отрицательные числители и неправильные дроби (когда числитель больше знаменателя) поддерживаются в полном объёме.
Разбор формулы
Чтобы объединить две дроби, их приводят к общему знаменателю. Самый простой общий знаменатель — произведение двух знаменателей, \(b \cdot d\). Тогда \(a/b\) превращается в \((a \cdot d)/(b \cdot d)\), а \(c/d\) — в \((c \cdot b)/(b \cdot d)\). Теперь у обеих дробей одинаковый знаменатель, поэтому достаточно сложить или вычесть числители:
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$
Наконец, результат сокращают, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который находят с помощью алгоритма Евклида:
$$\frac{n}{m} = \frac{n / \gcd(n,m)}{m / \gcd(n,m)}$$
Пример решения
Сложим \(1/2 + 1/3\). По формуле:
$$\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$
НОД чисел \(5\) и \(6\) равен \(1\), поэтому дробь \(5/6\) уже несократима. В виде десятичной дроби это примерно \(0{,}8333\).
Пример с вычитанием:
$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8}$$
что после деления на НОД, равный \(2\), сокращается до \(1/4\).
Частые вопросы
Должны ли знаменатели совпадать? Нет. Калькулятор автоматически приводит дроби к общему знаменателю, поэтому можно сразу складывать такие дроби, как \(2/5\) и \(7/8\).
Сократит ли калькулятор ответ? Да. Каждый результат приводится к несократимому виду с помощью наибольшего общего делителя.
Можно ли использовать отрицательные числа? Да. Введите отрицательный числитель (или знаменатель), и калькулятор сохранит знак, выдав в сокращённом результате положительный знаменатель.
Определения и глоссарий
Понимание словаря дробей делает их сложение и вычитание намного более ясными. Приведённые ниже термины описывают каждую часть дроби и шаги, которые использует этот калькулятор для получения сокращённого ответа.
- Числитель — верхнее число дроби. Оно показывает, сколько равных частей у вас есть. В дроби \(\frac{3}{4}\) числитель равен 3.
- Знаменатель — нижнее число дроби. Оно показывает, сколько равных частей составляют одно целое. В дроби \(\frac{3}{4}\) знаменатель равен 4. Знаменатель никогда не может быть равен 0.
- Правильная дробь — дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому её значение меньше 1 (например \(\frac{2}{5}\)).
- Неправильная дробь — дробь, у которой числитель равен знаменателю или больше знаменателя, поэтому её значение равно 1 или больше (например \(\frac{7}{4}\)). Суммы двух дробей часто являются неправильными.
- Общий знаменатель — единый знаменатель, который используется двумя или более дробями. Вы можете складывать или вычитать дроби только после того, как они имеют общий знаменатель. Этот инструмент использует произведение двух знаменателей, \(b\cdot d\), как гарантированный общий знаменатель; результат затем сокращается.
- Наименьшие члены (простейшая форма) — дробь, у которой числитель и знаменатель не имеют общих множителей, кроме 1, например \(\frac{2}{4}\) сокращённая до \(\frac{1}{2}\).
- НОД (Наибольший общий делитель) — наибольшее целое число, которое делит и числитель, и знаменатель нацело. Деление обоих на их НОД сокращает дробь до наименьших членов. НОД также называют ЧСД или ОДЧ.
- Алгоритм Евклида — эффективный метод нахождения НОД двух чисел путём повторного взятия остатка. Замените большее число остатком от деления двух чисел; повторяйте, пока остаток не станет равен 0. Последний ненулевой остаток — это НОД. Например, \(\gcd(8,12)\): \(12 \bmod 8 = 4\), затем \(8 \bmod 4 = 0\), поэтому НОД равен 4. Этот инструмент использует этот алгоритм для упрощения каждого результата.
Справочная таблица общих дробей в десятичные
Десятичное значение дроби — это просто её числитель, делённый на знаменатель. Таблица ниже содержит наиболее часто используемые дроби с их десятичными эквивалентами. Полоса над цифрой (или заметка «периодическая») указывает, что десятичная дробь повторяется бесконечно.
| Дробь | Десятичная | Примечания |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | 0.5 | Точное |
| \(\frac{1}{3}\) | 0.3333… | Периодическая (0.3̅) |
| \(\frac{2}{3}\) | 0.6667… | Периодическая (0.6̅) |
| \(\frac{1}{4}\) | 0.25 | Точное |
| \(\frac{3}{4}\) | 0.75 | Точное |
| \(\frac{1}{5}\) | 0.2 | Точное |
| \(\frac{2}{5}\) | 0.4 | Точное |
| \(\frac{3}{5}\) | 0.6 | Точное |
| \(\frac{4}{5}\) | 0.8 | Точное |
| \(\frac{1}{6}\) | 0.1667… | Периодическая (0.16̅) |
| \(\frac{5}{6}\) | 0.8333… | Периодическая (0.83̅) |
| \(\frac{1}{8}\) | 0.125 | Точное |
| \(\frac{3}{8}\) | 0.375 | Точное |
| \(\frac{5}{8}\) | 0.625 | Точное |
| \(\frac{7}{8}\) | 0.875 | Точное |
| \(\frac{1}{9}\) | 0.1111… | Периодическая (0.1̅) |
| \(\frac{1}{10}\) | 0.1 | Точное |
| \(\frac{1}{16}\) | 0.0625 | Точное |
В качестве проверочного примера, сложение \(\frac{1}{4}\) и \(\frac{1}{8}\): общий знаменатель равен 8, дающий \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\) 0.375, совпадающий с таблицей.
