Bu araç ne işe yarar?
Bu hesaplama aracı iki kesri toplar veya çıkarır ve sonucu hem tamamen sadeleştirilmiş (en sade haline indirgenmiş) bir kesir hem de ondalık karşılığı olarak verir. Her kesrin payını ve paydasını girin, toplama mı yoksa çıkarma mı yapacağınızı seçin; ortak payda bulma ve sonucu sadeleştirme işini araç sizin yerinize halleder.
Nasıl kullanılır?
Önce birinci kesrin payını ve paydasını yazın, işlemi (toplama ya da çıkarma) seçin, ardından ikinci kesri girin. Araç tek bir birleşik kesir hesaplar ve onu sadeleştirir. Negatif paylar ve bileşik kesirler (payın paydadan büyük olduğu kesirler) eksiksiz desteklenir.
Formülün açıklaması
İki kesri birleştirmek için onları ortak bir paydada toplamanız gerekir. En basit ortak payda, iki paydanın çarpımıdır: \(b \cdot d\). Böylece \(a/b\) kesri \(\frac{a \cdot d}{b \cdot d}\) olur, \(c/d\) kesri de \(\frac{c \cdot b}{b \cdot d}\) olur. Artık ikisinin de paydası aynı olduğundan, sadece payları toplar veya çıkarırsınız:
$$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d \pm c \cdot b}{b \cdot d}$$
Son olarak sonuç, payı ve paydayı en büyük ortak bölenlerine (OBEB) bölerek sadeleştirilir; OBEB, Öklid algoritması ile bulunur.
$$\frac{n}{m} = \frac{n / \gcd(n,m)}{m / \gcd(n,m)}$$
Çözümlü örnek
\(1/2 + 1/3\) işlemini yapalım. Formülü kullanarak:
$$\frac{1 \cdot 3 + 1 \cdot 2}{2 \cdot 3} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6}$$
5 ile 6'nın OBEB'i 1 olduğundan \(5/6\) zaten en sade halindedir. Ondalık olarak yaklaşık 0,8333 eder.
Çıkarma örneği:
$$\frac{3}{4} - \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 - 1 \cdot 4}{4 \cdot 2} = \frac{6 - 4}{8} = \frac{2}{8}$$
bu da OBEB olan 2'ye bölününce \(1/4\)'e sadeleşir.
Tanımlar & Sözlük
Kesirler hakkında kelime dağarcığını anlamak, onları toplamayı ve çıkarmayı çok daha açık hale getirir. Aşağıdaki terimler, bir kesirin her bir bölümünü ve bu hesap makinesinin indirgenmiş bir cevap üretmek için kullandığı adımları açıklamaktadır.
- Pay — bir kesirin üst sayısı. Kaç eşit parçaya sahip olduğunuzu sayar. \(\frac{3}{4}\) içinde, pay 3'tür.
- Payda — bir kesirin alt sayısı. Bir bütünü oluşturan kaç eşit parça olduğunu söyler. \(\frac{3}{4}\) içinde, payda 4'tür. Payda asla 0 olamaz.
- Basit kesir — payı paydadan daha küçük olan bir kesir, bu nedenle değeri 1'den küçüktür (örneğin \(\frac{2}{5}\)).
- Bileşik kesir — payı paydaya eşit veya paydadan daha büyük olan bir kesir, bu nedenle değeri 1 veya daha büyüktür (örneğin \(\frac{7}{4}\)). İki kesirin toplamları sıklıkla bileşiktir.
- Ortak payda — iki veya daha fazla kesir tarafından paylaşılan tek bir payda. Onları toplamadan veya çıkarmadan önce ancak bir taneyi paylaştığında yapabilirsiniz. Bu araç, garantili ortak payda olarak iki paydanın çarpımını \(b\cdot d\) kullanır; sonuç daha sonra indirgenir.
- En düşük terimler (basitleştirilmiş biçim) — pay ve paydanın 1'den başka ortak çarpanı olmayan bir kesir, örneğin \(\frac{2}{4}\) \(\frac{1}{2}\) olarak indirgenir.
- EBOB (En Büyük Ortak Bölen) — pay ve paydayı tam olarak bölen en büyük tam sayı. Her ikisini EBOB'larına bölerek bir kesir en düşük terimlere indirgenir. EBOB, EKOK veya OBEB olarak da adlandırılır.
- Öklid algoritması — tekrarlanan kalanla iki sayının EBOB'unu bulmak için etkili bir yöntem. Daha büyük sayıyı ikisini bölmenin kalanı ile değiştirin; kalan 0 olana kadar tekrarlayın. Son sıfır olmayan kalan EBOB'dur. Örneğin, \(\gcd(8,12)\): \(12 \bmod 8 = 4\), ardından \(8 \bmod 4 = 0\), bu nedenle EBOB 4'tür. Bu araç her sonucu basitleştirmek için bu algoritmayı çalıştırır.
Yaygın Kesir-Ondalık Referans Tablosu
Bir kesirin ondalık değeri, basitçe payının paydaya bölünmesidir. Aşağıdaki tablo, en sık kullanılan kesirleri ondalık eşdeğerleriyle listeler. Bir rakamın üzerindeki çizgi (veya "tekrarlayan" notu), ondalığın sonsuza kadar tekrarlandığını gösterir.
| Kesir | Ondalık | Notlar |
|---|---|---|
| \(\frac{1}{2}\) | 0.5 | Kesin |
| \(\frac{1}{3}\) | 0.3333… | Tekrarlayan (0.3̅) |
| \(\frac{2}{3}\) | 0.6667… | Tekrarlayan (0.6̅) |
| \(\frac{1}{4}\) | 0.25 | Kesin |
| \(\frac{3}{4}\) | 0.75 | Kesin |
| \(\frac{1}{5}\) | 0.2 | Kesin |
| \(\frac{2}{5}\) | 0.4 | Kesin |
| \(\frac{3}{5}\) | 0.6 | Kesin |
| \(\frac{4}{5}\) | 0.8 | Kesin |
| \(\frac{1}{6}\) | 0.1667… | Tekrarlayan (0.16̅) |
| \(\frac{5}{6}\) | 0.8333… | Tekrarlayan (0.83̅) |
| \(\frac{1}{8}\) | 0.125 | Kesin |
| \(\frac{3}{8}\) | 0.375 | Kesin |
| \(\frac{5}{8}\) | 0.625 | Kesin |
| \(\frac{7}{8}\) | 0.875 | Kesin |
| \(\frac{1}{9}\) | 0.1111… | Tekrarlayan (0.1̅) |
| \(\frac{1}{10}\) | 0.1 | Kesin |
| \(\frac{1}{16}\) | 0.0625 | Kesin |
\(\frac{1}{4}\) ve \(\frac{1}{8}\) eklemenin çalışılmış bir kontrolü olarak: ortak payda 8'dir, \(\frac{2}{8}+\frac{1}{8}=\frac{3}{8}=\) 0.375, tabloya uyar.
Sıkça sorulan sorular
Paydaların aynı olması gerekir mi? Hayır. Araç ortak paydayı otomatik olarak bulur; bu sayede \(2/5\) ile \(7/8\) gibi kesirleri doğrudan birleştirebilirsiniz.
Sonucu sadeleştirir mi? Evet. Her sonuç, en büyük ortak bölen kullanılarak en sade haline indirgenir.
Negatif sayı kullanabilir miyim? Evet. Negatif bir pay (ya da payda) girebilirsiniz; araç işareti korur ve sadeleştirilmiş sonuçta paydayı pozitif olarak verir.
